Encontre o comprimento da curva conhecendo a sua equação na forma polar:
r = e^(theta) ; 0 <= theta <= pi / 3.

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar o comprimento de uma curva definida pela equação polar , onde . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar a fórmula para o comprimento de uma curva em coordenadas polares :
Aqui, e são os limites do intervalo de .

Passo 3

Vamos identificar e calcular sua derivada em relação a :
Calculando a derivada:

Passo 4

Substituindo e na fórmula do comprimento:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:

Resposta

O comprimento da curva é .

Exercícios relacionados

Use o método do fator integrante para encontrar a solução geral das seguintes equações lineares:
y' + 3y = x + e^(-2x)
Determine o comprimento de arco das curvas:
y = (2 + x^2)^(3/2) / 3, 0 <= x <= 2.
Encontre o comprimento da curva conhecendo a sua equação na forma polar:
r = 2 a * sen(theta).
Use o método do fator integrante para encontrar a solução geral das seguintes equações lineares:
cal x' + tg(t) x = tg(t)