Use o método do fator integrante para encontrar a solução geral das seguintes equações lineares:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial linear usando o método do fator integrante. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o fator integrante para encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação. Ela está na forma padrão:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante (
). A fórmula para o fator integrante é:
Vamos calcular isso:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Passo 5
A expressăo à esquerda agora é a derivada do produto do fator integrante e
:
Simplificando o lado direito:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Vamos resolver as integrais uma a uma.
Primeiro,
. Para isso, usamos integração por partes:
Seja
e
.
Então,
e
.
Aplicando integração por partes:
Agora,
.
Passo 8
Substituindo as integrais de volta na equação:
Passo 9
Agora, resolvemos para
dividindo tudo por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Determine o comprimento de arco das curvas:
.
Use o método do fator integrante para encontrar a solução geral das seguintes equações lineares:
(d)
(d)
Encontre o comprimento da curva conhecendo a sua equação na forma polar:
.
Encontre o comprimento da curva conhecendo a sua equação na forma polar:
.