Use o método do fator integrante para encontrar a solução geral das seguintes equações lineares:
y' + 3y = x + e^(-2x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial linear usando o método do fator integrante. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o fator integrante para encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação. Ela está na forma padrão:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante ( ). A fórmula para o fator integrante é:
Vamos calcular isso:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:

Passo 5

A expressăo à esquerda agora é a derivada do produto do fator integrante e :
Simplificando o lado direito:

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Vamos resolver as integrais uma a uma.
Primeiro, . Para isso, usamos integração por partes:
Seja e .
Então, e .
Aplicando integração por partes:
Agora, .

Passo 8

Substituindo as integrais de volta na equação:

Passo 9

Agora, resolvemos para dividindo tudo por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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