Determine o volume do sólido gerado quando a região limitada por
e
gira em torno das retas:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume de um sólido que é formado quando a região limitada pelas curvas
e
gira em torno da reta
. Vamos usar o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente o método dos discos ou anéis, para calcular esse volume. Precisaremos identificar os limites de integração e estabelecer as expressões para os raios externo e interno do anel.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as curvas
e
se interceptam. Para isso, igualamos as duas funções:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Subtraindo
de ambos os lados:
Então, os pontos de interseção são
e
. Esses serão nossos limites de integração.
Passo 3
Agora, vamos visualizar o sólido de revolução. Como estamos girando em torno da reta
, precisamos calcular os raios externo e interno em relação a essa reta.
-
Raio Externo (
): a distância da reta até a curva superior : -
Raio Interno (
): a distância da reta até a curva inferior :
Passo 4
Com os raios definidos, podemos aplicar a fórmula do método dos anéis para calcular o volume
:
Substituindo os limites de integração
e
:
Passo 5
Vamos expandir os termos dentro do integrando:
Subtraindo os dois:
Passo 6
Agora, substituímos essa expressão de volta na integral:
Vamos integrar termo a termo:
Simplificando:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.
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Determine o volume do sólido de revolução, gerado pela rotação em torno do eixo das ordenadas, da região limitada pelos gráficos das funções:
e
.
Determine o volume do sólido de revolução, gerado pela rotação em torno do eixo das ordenadas, da região limitada pelos gráficos das funções:
e
.
Use o método do fator integrante para encontrar a solução geral das seguintes equações lineares:
(d)
(d)
Determine o comprimento de arco das curvas:
.