Determine o volume do sólido gerado quando a região limitada por y = x^2 e y = raiz(x) gira em torno das retas:
y = -3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume de um sólido que é formado quando a região limitada pelas curvas e gira em torno da reta . Vamos usar o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente o método dos discos ou anéis, para calcular esse volume. Precisaremos identificar os limites de integração e estabelecer as expressões para os raios externo e interno do anel.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as curvas e se interceptam. Para isso, igualamos as duas funções:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Subtraindo de ambos os lados:
Então, os pontos de interseção são e . Esses serão nossos limites de integração.

Passo 3

Agora, vamos visualizar o sólido de revolução. Como estamos girando em torno da reta , precisamos calcular os raios externo e interno em relação a essa reta.
  • Raio Externo ( ): a distância da reta até a curva superior :
  • Raio Interno ( ): a distância da reta até a curva inferior :

Passo 4

Com os raios definidos, podemos aplicar a fórmula do método dos anéis para calcular o volume :
Substituindo os limites de integração e :

Passo 5

Vamos expandir os termos dentro do integrando:
Subtraindo os dois:

Passo 6

Agora, substituímos essa expressão de volta na integral:
Vamos integrar termo a termo:
Simplificando:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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Determine o volume do sólido de revolução, gerado pela rotação em torno do eixo das ordenadas, da região limitada pelos gráficos das funções:
y = x^2, y = 0, y = 1 e x = 0.
Determine o volume do sólido de revolução, gerado pela rotação em torno do eixo das ordenadas, da região limitada pelos gráficos das funções:
y = x + 1, y = 1, y = 2 e x = 0.
Use o método do fator integrante para encontrar a solução geral das seguintes equações lineares:
(d) (1+x^2) y' + 4 x y = (1+x^2)^-2
Determine o comprimento de arco das curvas:
y = (2 + x^2)^(3/2) / 3, 0 <= x <= 2.