Determine o comprimento de arco das seguintes curvas:
(g)
para
(g)
Passo 1
Beleza! A gente precisa encontrar o comprimento de arco da curva definida pela função vetorial
no intervalo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a fórmula para comprimento de arco. Vamos precisar calcular a derivada da função vetorial e depois integrar a magnitude dessa derivada nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a derivada da função vetorial
em relação a
. A derivada nos dá a velocidade vetorial da curva.
Passo 3
Calculando a derivada de cada componente:
Passo 4
Agora, vamos calcular a magnitude dessa derivada, que representa a velocidade:
Passo 5
Finalmente, o comprimento de arco
é a integral da magnitude da derivada de
a
:
Resposta
O comprimento de arco da curva é 8 unidades.