Determine o comprimento de arco das seguintes curvas:
(g) r(t) = (3t + 1) j + (t + 2) j para t in [0, 2]

Passo 1

Beleza! A gente precisa encontrar o comprimento de arco da curva definida pela função vetorial no intervalo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a fórmula para comprimento de arco. Vamos precisar calcular a derivada da função vetorial e depois integrar a magnitude dessa derivada nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a derivada da função vetorial vec(r)(t) em relação a t. A derivada nos dá a velocidade vetorial da curva.

Passo 3

Calculando a derivada de cada componente:

Passo 4

Agora, vamos calcular a magnitude dessa derivada, que representa a velocidade:

Passo 5

Finalmente, o comprimento de arco S é a integral da magnitude da derivada de a :

Resposta

O comprimento de arco da curva é 8 unidades.

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