Se
é o vetor posição em movimento, mostre que o vetor velocidade da partícula é ortogonal a
, onde
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que o vetor velocidade de uma partícula é ortogonal ao vetor posição dela. A gente vai usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e produto escalar. Para isso, vamos precisar calcular a velocidade derivando o vetor posição e depois verificar se o produto escalar entre eles é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade. A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Dado que:
Vamos derivar cada componente:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto escalar entre o vetor posição
e o vetor velocidade
. O produto escalar é dado por:
Simplificando:
Resposta
Como o produto escalar deu zero, isso mostra que o vetor velocidade é ortogonal ao vetor posição para todo
. Ou seja,
é perpendicular a
.