Se é o vetor posição em movimento, mostre que o vetor velocidade da partícula é ortogonal a , onde
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que o vetor velocidade de uma partícula é ortogonal ao vetor posição dela. A gente vai usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e produto escalar. Para isso, vamos precisar calcular a velocidade derivando o vetor posição e depois verificar se o produto escalar entre eles é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade. A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Dado que:
Vamos derivar cada componente:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar entre o vetor posição e o vetor velocidade . O produto escalar é dado por:
Simplificando:

Resposta

Como o produto escalar deu zero, isso mostra que o vetor velocidade é ortogonal ao vetor posição para todo . Ou seja, é perpendicular a .

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Determine os vetores velocidade e aceleração para qualquer instante . Determine, ainda, o módulo desses vetores no instante dado.
© , onde e são funções hipérbolicas, definidas por:
Seja e . Calcule, se existir, cada um dos seguintes limites:
(a)
Determine o comprimento de arco das seguintes curvas:
(g) para
Se é o vetor posição em movimento, mostre que o vetor velocidade da partícula é ortogonal a , onde
(b) .