Se vec(r)(t) é o vetor posição em movimento, mostre que o vetor velocidade da partícula é ortogonal a vec(r)(t), onde
(a) r(t) = (cos(t), sen(t))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que o vetor velocidade de uma partícula é ortogonal ao vetor posição dela. A gente vai usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e produto escalar. Para isso, vamos precisar calcular a velocidade derivando o vetor posição e depois verificar se o produto escalar entre eles é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade. A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Dado que:
Vamos derivar cada componente:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar entre o vetor posição e o vetor velocidade . O produto escalar é dado por:
Simplificando:

Resposta

Como o produto escalar deu zero, isso mostra que o vetor velocidade é ortogonal ao vetor posição para todo . Ou seja, é perpendicular a .

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