Se
é o vetor posição em movimento, mostre que o vetor velocidade da partícula é ortogonal a
, onde
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que o vetor velocidade de uma partícula é ortogonal ao vetor posição dela. A gente vai usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e produto escalar. Para isso, vamos precisar calcular a velocidade derivando o vetor posição e depois verificar se o produto escalar entre eles é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade. A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Dado que:
Vamos derivar cada componente:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto escalar entre o vetor posição
e o vetor velocidade
. O produto escalar é dado por:
Simplificando:
Resposta
Como o produto escalar deu zero, isso mostra que o vetor velocidade é ortogonal ao vetor posição para todo
. Ou seja,
é perpendicular a
.
Exercícios relacionados
Determine os vetores velocidade e aceleração para qualquer instante
. Determine, ainda, o módulo desses vetores no instante dado.
© , onde
e
são funções hipérbolicas, definidas por:
©
Seja
e
. Calcule, se existir, cada um dos seguintes limites:
(a)
(a)
Determine o comprimento de arco das seguintes curvas:
(g) para
(g)
Se
é o vetor posição em movimento, mostre que o vetor velocidade da partícula é ortogonal a
, onde
(b) .
(b)