Encontrar a curvatura em um ponto genérico de:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a curvatura em um ponto genérico da função vetorial . A curvatura é uma medida de quão rápido a curva está mudando de direção naquele ponto. Para calcular isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada da função vetorial . A primeira derivada, , nos dá a velocidade da curva.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada da função vetorial, que nos dá a aceleração da curva.

Passo 4

A fórmula para a curvatura de uma curva parametrizada é dada por:
Aqui, representa o produto vetorial, e denota a magnitude do vetor.

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial :

Passo 6

Agora, vamos calcular a magnitude de :

Passo 7

Finalmente, substituímos esses valores na fórmula da curvatura:

Resposta

A curvatura em um ponto genérico é dada por:

Exercícios relacionados

Se é o vetor posição em movimento, mostre que o vetor velocidade da partícula é ortogonal a , onde
(b) .
Determine o comprimento de arco das seguintes curvas:
(g) para
Uma partícula se move com função posição . Determine as componantes tangencial e normal da aceleração.
A função
é uma função diferenciável em ? Justifique sua resposta.