Encontrar a curvatura em um ponto genérico de:
(a) r(t) = t^3 j + t^2 k

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a curvatura em um ponto genérico da função vetorial . A curvatura é uma medida de quão rápido a curva está mudando de direção naquele ponto. Para calcular isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada da função vetorial vec(r)(t). A primeira derivada, , nos dá a velocidade da curva.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada da função vetorial, que nos dá a aceleração da curva.

Passo 4

A fórmula para a curvatura kappa(t) de uma curva parametrizada é dada por:
Aqui, x vezes y representa o produto vetorial, e denota a magnitude do vetor.

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial :

Passo 6

Agora, vamos calcular a magnitude de :

Passo 7

Finalmente, substituímos esses valores na fórmula da curvatura:

Resposta

A curvatura em um ponto genérico é dada por:

Exercícios relacionados