Encontrar a curvatura em um ponto genérico de:
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a curvatura em um ponto genérico da função vetorial . A curvatura é uma medida de quão rápido a curva está mudando de direção naquele ponto. Para calcular isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada da função vetorial . A primeira derivada, , nos dá a velocidade da curva.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada da função vetorial, que nos dá a aceleração da curva.
Passo 4
A fórmula para a curvatura de uma curva parametrizada é dada por:
Aqui, representa o produto vetorial, e denota a magnitude do vetor.
Passo 5
Vamos calcular o produto vetorial :
Passo 6
Agora, vamos calcular a magnitude de :
Passo 7
Finalmente, substituímos esses valores na fórmula da curvatura: