Se vec(r)(t) é o vetor posição em movimento, mostre que o vetor velocidade da partícula é ortogonal a vec(r)(t), onde
(b) r(t) = (cos(3t), sen(3t)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o vetor velocidade da partícula é ortogonal ao vetor posição vec(r)(t), onde . Isso tá ligado ao conteúdo de cálculo vetorial, onde a gente precisa usar derivadas de funções vetoriais e o conceito de produto escalar para verificar a ortogonalidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade vec(v)(t), que é a derivada do vetor posição vec(r)(t) em relação ao tempo t. Então:
Derivando cada componente:

Passo 3

Agora, para verificar se vec(v)(t) é ortogonal a vec(r)(t), vamos calcular o produto escalar entre eles. O produto escalar de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso para vec(r)(t) e vec(v)(t):

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
Pois .

Resposta

Como o produto escalar , concluímos que o vetor velocidade é ortogonal ao vetor posição.

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