Se
é o vetor posição em movimento, mostre que o vetor velocidade da partícula é ortogonal a
, onde
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o vetor velocidade da partícula é ortogonal ao vetor posição
, onde . Isso tá ligado ao conteúdo de cálculo vetorial, onde a gente precisa usar derivadas de funções vetoriais e o conceito de produto escalar para verificar a ortogonalidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade
, que é a derivada do vetor posição
em relação ao tempo
. Então:
Derivando cada componente:
Passo 3
Agora, para verificar se
é ortogonal a
, vamos calcular o produto escalar entre eles. O produto escalar de dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso para
e
:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão:
Pois .
Resposta
Como o produto escalar
, concluímos que o vetor velocidade é ortogonal ao vetor posição.
Exercícios relacionados
Determine o comprimento de arco das seguintes curvas:
(g) para
(g)
Se
é o vetor posição em movimento, mostre que o vetor velocidade da partícula é ortogonal a
, onde
(a)
(a)
Encontrar a curvatura em um ponto genérico de:
(a)
(a)
Uma partícula se move com função posição
. Determine as componantes tangencial e normal da aceleração.