Determine os vetores velocidade e aceleração para qualquer instante t. Determine, ainda, o módulo desses vetores no instante dado.
© r(t) = 2 cosh(t) i + 3 senh(t) j, t = 0, onde cosh t e senh(t) são funções hipérbolicas, definidas por:
cosh(t) = (e^t + e^(-t)) / 2, senh(t) = (e^t - e^(-t)) / 2

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função posição vec(r)(t) que descreve a posição de um objeto em função do tempo t. Nosso objetivo é encontrar os vetores velocidade e aceleração para qualquer instante t, além de calcular o módulo (ou seja, a magnitude) desses vetores no instante t = 0. Para isso, vamos precisar usar derivadas e entender como funcionam as funções hiperbólicas cosh t e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade vec(v)(t). A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente da função posição vec(r)(t).
Dada:
Derivando em relação a t:
Sabemos que:
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor aceleração a(t). A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente da função velocidade vec(v)(t).
Dada:
Derivando em relação a t:
Usando novamente as derivadas das funções hiperbólicas:
Portanto:

Passo 4

Agora que temos os vetores velocidade e aceleração, vamos calcular o módulo desses vetores no instante t = 0. Para isso, precisamos avaliar e .
Primeiro, vamos lembrar os valores das funções hiperbólicas em t = 0:
Então:
O módulo da velocidade em t = 0 é:
Da mesma forma, para a aceleração:
O módulo da aceleração em t = 0 é:

Resposta

No instante t = 0, o módulo do vetor velocidade é e o módulo do vetor aceleração é .

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