Determine os vetores velocidade e aceleração para qualquer instante . Determine, ainda, o módulo desses vetores no instante dado.
© , onde e são funções hipérbolicas, definidas por:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função posição que descreve a posição de um objeto em função do tempo . Nosso objetivo é encontrar os vetores velocidade e aceleração para qualquer instante , além de calcular o módulo (ou seja, a magnitude) desses vetores no instante . Para isso, vamos precisar usar derivadas e entender como funcionam as funções hiperbólicas e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade . A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente da função posição .
Dada:
Derivando em relação a :
Sabemos que:
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor aceleração . A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente da função velocidade .
Dada:
Derivando em relação a :
Usando novamente as derivadas das funções hiperbólicas:
Portanto:

Passo 4

Agora que temos os vetores velocidade e aceleração, vamos calcular o módulo desses vetores no instante . Para isso, precisamos avaliar e .
Primeiro, vamos lembrar os valores das funções hiperbólicas em :
Então:
O módulo da velocidade em é:
Da mesma forma, para a aceleração:
O módulo da aceleração em é:

Resposta

No instante , o módulo do vetor velocidade é e o módulo do vetor aceleração é .

Exercícios relacionados

Seja e . Calcule, se existir, cada um dos seguintes limites:
(a)
Determine o vetore tangentes unitário para os seguintes casos:
(b) .
Se é o vetor posição em movimento, mostre que o vetor velocidade da partícula é ortogonal a , onde
(a)
Determine o comprimento de arco das seguintes curvas:
(g) para