Determine os vetores velocidade e aceleração para qualquer instante
. Determine, ainda, o módulo desses vetores no instante dado.
©
, onde
e
são funções hipérbolicas, definidas por:
©
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função posição
que descreve a posição de um objeto em função do tempo
. Nosso objetivo é encontrar os vetores velocidade e aceleração para qualquer instante
, além de calcular o módulo (ou seja, a magnitude) desses vetores no instante
. Para isso, vamos precisar usar derivadas e entender como funcionam as funções hiperbólicas
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade
. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente da função posição
.
Dada:
Derivando em relação a
:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor aceleração
. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente da função velocidade
.
Dada:
Derivando em relação a
:
Usando novamente as derivadas das funções hiperbólicas:
Portanto:
Passo 4
Agora que temos os vetores velocidade e aceleração, vamos calcular o módulo desses vetores no instante
. Para isso, precisamos avaliar
e
.
Primeiro, vamos lembrar os valores das funções hiperbólicas em
:
Então:
O módulo da velocidade em
é:
Da mesma forma, para a aceleração:
O módulo da aceleração em
é:
Resposta
No instante
, o módulo do vetor velocidade é
e o módulo do vetor aceleração é
.
Exercícios relacionados
Seja
e
. Calcule, se existir, cada um dos seguintes limites:
(a)
(a)
Determine o vetore tangentes unitário
para os seguintes casos:
(b) .
(b)
Se
é o vetor posição em movimento, mostre que o vetor velocidade da partícula é ortogonal a
, onde
(a)
(a)
Determine o comprimento de arco das seguintes curvas:
(g) para
(g)