Determine o comprimento de arco das seguintes curvas: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de comprimento de arco! A questão nos pede para encontrar o comprimento de arco da curva dada por no intervalo de a . Para isso, vamos precisar usar o conceito de cálculo de comprimento de arco de uma curva paramétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva paramétrica no intervalo :
Aqui, é a derivada da função vetorial em relação a , e representa o módulo (ou comprimento) desse vetor.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de :
Então, .
Passo 4
Agora, vamos encontrar o módulo de :
Usamos a identidade trigonométrica .
Passo 5
Com o módulo encontrado, a integral para o comprimento de arco fica:
Isso simplifica a integração, já que estamos integrando a constante 1.