Determine o comprimento de arco das seguintes curvas: r(t) = (-sen(t), cos(t), 2), 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de comprimento de arco! A questão nos pede para encontrar o comprimento de arco da curva dada por no intervalo de a . Para isso, vamos precisar usar o conceito de cálculo de comprimento de arco de uma curva paramétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva paramétrica no intervalo :
Aqui, é a derivada da função vetorial em relação a , e representa o módulo (ou comprimento) desse vetor.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos encontrar o módulo de :
Usamos a identidade trigonométrica .

Passo 5

Com o módulo encontrado, a integral para o comprimento de arco fica:
Isso simplifica a integração, já que estamos integrando a constante 1.

Passo 6

Vamos calcular a integral:

Resposta

O comprimento de arco da curva é .

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