Usando indução, mostre as seguintes afirmações:
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar indução matemática pra provar que a soma dos quarto poderes dos números de 1 até
é igual a:
Então, o conteúdo principal aqui é indução matemática, que é um método usado pra provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um certo ponto. Vamos precisar verificar dois passos: a base da indução e o passo indutivo.
Passo 2
Base da Indução: Primeiro, vamos verificar se a equação funciona para
.
Calculando o lado esquerdo:
Agora, o lado direito:
Como os dois lados são iguais (
), a base da indução está confirmada.
Passo 3
Hipótese de Indução: Agora, vamos supor que a fórmula vale para algum
, ou seja:
Essa suposição é a nossa hipótese de indução e vamos usar ela para provar que a fórmula também funciona para
.
Passo 4
Passo Indutivo: Precisamos mostrar que:
Usando a hipótese de indução, substituímos a soma até
:
Agora, vamos fatorar
:
Simplificando os termos dentro do colchete e manipulando a expressão algébrica (o que envolve expandir e simplificar os polinômios), acabamos obtendo exatamente a fórmula para
:
Que é a mesma estrutura da fórmula original substituindo
por
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, a fórmula
é verdadeira para todo
.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações e inaquações modulares
(f)
(f)
Determine uma equação da reta que satisfaça as condições dadas a seguir:
(b) Passa pelo ponto e é paralela a reta cuja equação é
.
(b) Passa pelo ponto
Determine o comprimento de arco das seguintes curvas:
.
Determine o domínio das seguintes funções:
(g)
(g)