Usando indução, mostre as seguintes afirmações: para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar indução matemática pra provar que a soma dos quarto poderes dos números de 1 até é igual a:
Então, o conteúdo principal aqui é indução matemática, que é um método usado pra provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um certo ponto. Vamos precisar verificar dois passos: a base da indução e o passo indutivo.

Passo 2

Base da Indução: Primeiro, vamos verificar se a equação funciona para .
Calculando o lado esquerdo:
Agora, o lado direito:
Como os dois lados são iguais ( ), a base da indução está confirmada.

Passo 3

Hipótese de Indução: Agora, vamos supor que a fórmula vale para algum , ou seja:
Essa suposição é a nossa hipótese de indução e vamos usar ela para provar que a fórmula também funciona para .

Passo 4

Passo Indutivo: Precisamos mostrar que:
Usando a hipótese de indução, substituímos a soma até :
Agora, vamos fatorar :
Simplificando os termos dentro do colchete e manipulando a expressão algébrica (o que envolve expandir e simplificar os polinômios), acabamos obtendo exatamente a fórmula para :
Que é a mesma estrutura da fórmula original substituindo por .

Resposta

Portanto, por indução matemática, a fórmula
é verdadeira para todo .

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes equações e inaquações modulares
(f)
Determine uma equação da reta que satisfaça as condições dadas a seguir:
(b) Passa pelo ponto e é paralela a reta cuja equação é .
Determine o comprimento de arco das seguintes curvas: .
Determine o domínio das seguintes funções:
(g)