Determine o comprimento de Arwo dos sequintes curvas:
07/08/2024 77.34

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é calcular o comprimento de arco de duas curvas definidas por funções vetoriais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas. Vamos precisar derivar as funções, calcular a magnitude das derivadas e integrar isso no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na primeira curva:
Para encontrar o comprimento de arco, precisamos seguir esses passos:
  1. Encontrar a derivada de em relação a .
  2. Calcular a magnitude dessa derivada.
  3. Integrar essa magnitude de até .

Passo 3

Vamos começar derivando :
Simplificando a última componente:
Então, a derivada fica:

Passo 4

Agora, calculamos a magnitude de :
Portanto, o comprimento de arco é:
Essa integral não tem uma solução elemental, então podemos deixá-la assim ou usar métodos numéricos para aproximar seu valor.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda curva:
Seguimos os mesmos passos:
  1. Derivamos em relação a .
  2. Calculamos a magnitude dessa derivada.
  3. Integramos essa magnitude de até .

Passo 6

Derivando :
A magnitude de é:
Sabemos que , então:

Passo 7

Agora, calculamos o comprimento de arco:

Resposta

Para a curva , o comprimento de arco é dado pela integral , que não possui uma solução elemental. Para a curva , o comprimento de arco é .

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a equacas