Determine o comprimento de Arwo dos sequintes curvas:
l f(t)=2 t^3 i+2 t j+raiz6 t^2 k ; 0 <= t <= 3 g(t)=t i+sin t j+(1+cos t) k: 0 <= t <= 2 pi
07/08/2024 77.34

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é calcular o comprimento de arco de duas curvas definidas por funções vetoriais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas. Vamos precisar derivar as funções, calcular a magnitude das derivadas e integrar isso no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na primeira curva:
f(t) = 2 t^3 i + 2 t j + raiz6 t^2 k, 0 <= t <= 3
Para encontrar o comprimento de arco, precisamos seguir esses passos:
  1. Encontrar a derivada de em relação a .
  2. Calcular a magnitude dessa derivada.
  3. Integrar essa magnitude de até .

Passo 3

Vamos começar derivando f'(t) = ddt ( 2 t^3 i + 2 t j + raiz6 t^2 k ) = 6 t^2 i + 2 j + 6 traiz6 t^2 k :
6 traiz6 t^2 = 6 traiz6 |t| = raiz6
Simplificando a última componente:
f'(t) = 6 t^2 i + 2 j + raiz6 k
Então, a derivada fica:

Passo 4

Agora, calculamos a magnitude de |f'(t)| = raiz(6 t^2)^2 + (2)^2 + (raiz6)^2 = raiz36 t^4 + 4 + 6 = raiz36 t^4 + 10 :
S = integral0^3 raiz36 t^4 + 10 , dt
Portanto, o comprimento de arco é:
Essa integral não tem uma solução elemental, então podemos deixá-la assim ou usar métodos numéricos para aproximar seu valor.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda curva:
g(t) = t i + sin t j + (1 + cos t) k, 0 <= t <= 2pi
Seguimos os mesmos passos:
  1. Derivamos em relação a .
  2. Calculamos a magnitude dessa derivada.
  3. Integramos essa magnitude de até .

Passo 6

Derivando g'(t) = ddt ( t i + sin t j + (1 + cos t) k ) = 1 i + cos t j - sin t k :
|g'(t)| = raiz(1)^2 + (cos t)^2 + (-sin t)^2 = raiz1 + cos^2 t + sin^2 t
A magnitude de |g'(t)| = raiz1 + 1 = raiz2 é:
Sabemos que , então:

Passo 7

Agora, calculamos o comprimento de arco:
S = integral0^2pi raiz2 , dt = raiz2 integral0^2pi dt = raiz2 cdot (2pi - 0) = 2pi raiz2

Resposta

Para a curva , o comprimento de arco é dado pela integral , que não possui uma solução elemental. Para a curva , o comprimento de arco é .

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