Determine o comprimento de Arwo dos sequintes curvas:
07/08/2024 77.34
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é calcular o comprimento de arco de duas curvas definidas por funções vetoriais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas. Vamos precisar derivar as funções, calcular a magnitude das derivadas e integrar isso no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na primeira curva:
Para encontrar o comprimento de arco, precisamos seguir esses passos:
Encontrar a derivada de em relação a .
Calcular a magnitude dessa derivada.
Integrar essa magnitude de até .
Passo 3
Vamos começar derivando :
Simplificando a última componente:
Então, a derivada fica:
Passo 4
Agora, calculamos a magnitude de :
Portanto, o comprimento de arco é:
Essa integral não tem uma solução elemental, então podemos deixá-la assim ou usar métodos numéricos para aproximar seu valor.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda curva:
Seguimos os mesmos passos:
Derivamos em relação a .
Calculamos a magnitude dessa derivada.
Integramos essa magnitude de até .
Passo 6
Derivando :
A magnitude de é:
Sabemos que , então:
Passo 7
Agora, calculamos o comprimento de arco:
Resposta
Para a curva , o comprimento de arco é dado pela integral , que não possui uma solução elemental. Para a curva , o comprimento de arco é .