Determine o comprimento da corda focal da parábola x^2+8 y=0 que é paralela à reta r: 3 x+4 y-7=0
5.25 / 2

Passo 1

Então, vamos lá! Temos a parábola e queremos encontrar o comprimento da corda focal que é paralela à reta . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre parábolas e suas cordas focais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da parábola de uma forma mais familiar. A equação pode ser rearranjada para . Sabemos que a equação padrão de uma parábola com vértice na origem e eixo vertical é . Comparando, vemos que , então . Isso significa que o foco da parábola está em .

Passo 3

Agora, vamos entender o que é uma corda focal. Uma corda focal de uma parábola é uma linha que passa pelo foco da parábola e conecta dois pontos da parábola. Queremos que essa corda seja paralela à reta . Para que duas retas sejam paralelas, elas devem ter o mesmo coeficiente angular.

Passo 4

Vamos encontrar o coeficiente angular da reta 4y = -3x + 7 implies y = -34x + 74 . Primeiro, vamos colocar a equação na forma :
Então, o coeficiente angular é .

Passo 5

Sabendo que a corda focal deve ter o mesmo coeficiente angular y - y0 = m(x - x0) e passar pelo foco y - (-2) = -34(x - 0) implies y + 2 = -34x implies y = -34x - 2 , podemos escrever a equação da corda focal. Usando a fórmula da reta:
onde e , temos:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar os pontos de interseção dessa corda focal com a parábola x^2 = -8( -34x - 2 ) = 6x + 16 . Substituindo x^2 - 6x - 16 = 0 na equação da parábola:
Reorganizando:

Passo 7

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de x = 6 pm raiz(-6)^2 - 4 cdot 1 cdot (-16)2 cdot 1 = 6 pm raiz36 + 642 = 6 pm raiz1002 = 6 pm 102 :
x = 6 + 102 = 8 e x = 6 - 102 = -2
Então, os valores de são:

Passo 8

Agora, encontramos os pontos de interseção substituindo y = -34(8) - 2 = -6 - 2 = -8 de volta na equação da corda focal y = -34(-2) - 2 = 32 - 2 = -12 :
Para :
Então, o ponto é .
Para :
Então, o ponto é .

Passo 9

Agora, temos os dois pontos da corda focal: d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e d = raiz( -2 - 8 )^2 + ( -12 - (-8) )^2 = raiz(-10)^2 + ( 152 )^2 = raiz100 + 2254 = raiz400 + 2254 = raiz6254 = 252 = 12,5 . Para encontrar o comprimento dessa corda, usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
Substituindo os valores:

Resposta

O comprimento da corda focal é unidades, ou seja, .

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