Determine
comprimento da corda focal da parábola
que é paralela à reta
Passo 1
Então, vamos lá! Temos a parábola
e queremos encontrar o comprimento da corda focal que é paralela à reta
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre parábolas e suas cordas focais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da parábola de uma forma mais familiar. A equação
pode ser rearranjada para
. Sabemos que a equação padrão de uma parábola com vértice na origem e eixo vertical é
. Comparando, vemos que
, então
. Isso significa que o foco da parábola está em
.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é uma corda focal. Uma corda focal de uma parábola é uma linha que passa pelo foco da parábola e conecta dois pontos da parábola. Queremos que essa corda seja paralela à reta
. Para que duas retas sejam paralelas, elas devem ter o mesmo coeficiente angular.
Passo 4
Vamos encontrar o coeficiente angular da reta
. Primeiro, vamos colocar a equação na forma
:
Então, o coeficiente angular
é
.
Passo 5
Sabendo que a corda focal deve ter o mesmo coeficiente angular
e passar pelo foco
, podemos escrever a equação da corda focal. Usando a fórmula da reta:
onde
e
, temos:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar os pontos de interseção dessa corda focal com a parábola
. Substituindo
na equação da parábola:
Reorganizando:
Passo 7
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
:
Então, os valores de
são:
Passo 8
Agora, encontramos os pontos de interseção substituindo
de volta na equação da corda focal
:
Para
:
Então, o ponto é
.
Para
:
Então, o ponto é
.
Passo 9
Agora, temos os dois pontos da corda focal:
e
. Para encontrar o comprimento dessa corda, usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
Substituindo os valores:
Resposta
O comprimento da corda focal é
unidades, ou seja,
.