Determine as equações paramétricas que representam o movimento de uma particula ao longo da elipse 9 x^2 + 4 y^2 + 24 y = 0, com ponto inicial (-2, -3) e percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve determinar as equações paramétricas que descrevem o movimento de uma partícula ao longo de uma elipse definida pela equação . A partícula começa no ponto e se move no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos utilizar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre elipses e suas representações paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da elipse em sua forma padrão. A equação dada é . Para transformar essa equação na forma padrão da elipse, que é , precisamos completar o quadrado para o termo que envolve .

Passo 3

Vamos reorganizar a equação:
Focando nos termos de :
Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos dentro do parêntese:

Passo 4

Substituindo de volta na equação original:
Distribuindo o :
Agora, isolamos a parte da elipse:

Passo 5

Dividindo todos os termos por para obter a forma padrão:
Simplificando as frações:

Passo 6

Agora, identificamos os parâmetros da elipse:
  • Centro
  • (semi-eixo maior no eixo )
  • (semi-eixo menor no eixo )

Passo 7

As equações paramétricas padrão para uma elipse centrada em são:
Onde é o parâmetro que varia de a para percorrer a elipse.

Passo 8

Substituindo os valores identificados:

Passo 9

No entanto, observamos que no ponto inicial , temos:
O ponto inicial desejado é . Para ajustar isso, podemos adicionar um deslocamento de fase em , de forma que quando , . Assim, modificamos as equações para:

Passo 10

Simplificando as equações usando as identidades trigonométricas e :

Resposta

As equações paramétricas que representam o movimento da partícula ao longo da elipse são:
Onde varia de a para percorrer a elipse no sentido anti-horário, começando no ponto .

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