Determine as equações paramétricas que representam o movimento de uma particula ao longo da elipse
, com ponto inicial
e percorrida no sentido anti-horário.
Passo 1
Vamos resolver um exercício que envolve determinar as equações paramétricas que descrevem o movimento de uma partícula ao longo de uma elipse definida pela equação
. A partícula começa no ponto
e se move no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos utilizar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre elipses e suas representações paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da elipse em sua forma padrão. A equação dada é
. Para transformar essa equação na forma padrão da elipse, que é
, precisamos completar o quadrado para o termo que envolve
.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação:
Focando nos termos de
:
Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos
dentro do parêntese:
Passo 4
Substituindo de volta na equação original:
Distribuindo o
:
Agora, isolamos a parte da elipse:
Passo 5
Dividindo todos os termos por
para obter a forma padrão:
Simplificando as frações:
Passo 6
Agora, identificamos os parâmetros da elipse:
- Centro
-
(semi-eixo maior no eixo ) -
(semi-eixo menor no eixo )
Passo 7
As equações paramétricas padrão para uma elipse centrada em
são:
Onde
é o parâmetro que varia de
a
para percorrer a elipse.
Passo 8
Substituindo os valores identificados:
Passo 9
No entanto, observamos que no ponto inicial
, temos:
O ponto inicial desejado é
. Para ajustar isso, podemos adicionar um deslocamento de fase em
, de forma que quando
,
. Assim, modificamos as equações para:
Passo 10
Simplificando as equações usando as identidades trigonométricas
e
:
Resposta
As equações paramétricas que representam o movimento da partícula ao longo da elipse são:
Onde
varia de
a
para percorrer a elipse no sentido anti-horário, começando no ponto
.
Exercícios relacionados
Em cada item, determine as coordenadas cartesianas do ponto cujas coordenadas polares são dadas.
.
Determine o comprimento da curva
.