Determine o comprimento da curva dada.
alpha(t) = (raiz(2) t, e^t, e^(-t)), 0 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o comprimento de uma curva definida pela função vetorial no intervalo de de 0 a 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente sobre comprimento de curvas que envolve derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada por de até . A fórmula é:
Aqui, representa a magnitude (ou comprimento) do vetor derivada da função .

Passo 3

Vamos encontrar a derivada de . Dada a função:
A derivada é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a magnitude do vetor derivada :

Passo 5

Queremos simplificar essa expressão para facilitar a integração. Observe que:
onde é a função cosseno hiperbólico. Então:
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora que simplificamos para , podemos substituir na fórmula do comprimento:

Passo 7

Vamos calcular essa integral:
Avaliando de 0 a 1:
Sabemos que , então:

Resposta

O comprimento da curva é , que aproximadamente vale 2,3504 unidades.

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