Determine o comprimento da curva dada.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o comprimento de uma curva definida pela função vetorial
no intervalo de
de 0 a 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente sobre comprimento de curvas que envolve derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada por
de
até
. A fórmula é:
Aqui,
representa a magnitude (ou comprimento) do vetor derivada da função
.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada de
. Dada a função:
A derivada
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a magnitude do vetor derivada
:
Passo 5
Queremos simplificar essa expressão para facilitar a integração. Observe que:
onde
é a função cosseno hiperbólico. Então:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Agora que simplificamos
para
, podemos substituir na fórmula do comprimento:
Passo 7
Vamos calcular essa integral:
Avaliando de 0 a 1:
Sabemos que
, então:
Resposta
O comprimento da curva é
, que aproximadamente vale 2,3504 unidades.
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Nos itens abaixo, determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja posição no tempo
é
.
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Encontre a função curvatura das curvas a seguir.
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Encontre a função curvatura das curvas a seguir.
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