Nos itens abaixo, determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja posição no tempo
é
.
.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar três coisas sobre uma partícula que está se movendo: a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar. A posição da partícula no tempo
é dada pela função vetorial
. Para resolver isso, vamos precisar entender de cálculo vetorial, especificamente como derivar funções vetoriais para encontrar velocidade e aceleração, além de calcular a magnitude de um vetor para a velocidade escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de
:
Calculando cada derivada:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de
:
Calculando cada derivada:
Passo 4
Por último, vamos calcular a velocidade escalar, que é a magnitude da velocidade vetorial
. A fórmula para a magnitude de um vetor
é:
Aplicando isso à nossa velocidade:
Resposta
A velocidade da partícula é
, a aceleração é
, e a velocidade escalar é
.
Exercícios relacionados
Seja
uma parametrização pelo comprimento de arco de uma curva
. Sendo
, o triedro de Frenet de
no ponto
, obtenha os itens a seguir.
Mostre que é perpendicular a
para todo
. (dica: derive
.)
Mostre que
Seja
a curva plana determinada pelo gráfico da função
.
Mostre que a curvatura de no ponto
é
Mostre que a curvatura de
Determine as componentes tangencial e normal do vetor aceleração.
.
Determine o comprimento da curva dada.
.