Nos itens abaixo, determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja posição no tempo t é alpha(t).
alpha(t) = (raiz(2) t, e^t, e^-t).

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar três coisas sobre uma partícula que está se movendo: a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar. A posição da partícula no tempo é dada pela função vetorial . Para resolver isso, vamos precisar entender de cálculo vetorial, especificamente como derivar funções vetoriais para encontrar velocidade e aceleração, além de calcular a magnitude de um vetor para a velocidade escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de :
Calculando cada derivada:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de :
Calculando cada derivada:

Passo 4

Por último, vamos calcular a velocidade escalar, que é a magnitude da velocidade vetorial . A fórmula para a magnitude de um vetor é:
Aplicando isso à nossa velocidade:

Resposta

A velocidade da partícula é , a aceleração é , e a velocidade escalar é .

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