Nos itens abaixo, determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja posição no tempo é .
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Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar três coisas sobre uma partícula que está se movendo: a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar. A posição da partícula no tempo é dada pela função vetorial . Para resolver isso, vamos precisar entender de cálculo vetorial, especificamente como derivar funções vetoriais para encontrar velocidade e aceleração, além de calcular a magnitude de um vetor para a velocidade escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de :
Calculando cada derivada:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de :
Calculando cada derivada:

Passo 4

Por último, vamos calcular a velocidade escalar, que é a magnitude da velocidade vetorial . A fórmula para a magnitude de um vetor é:
Aplicando isso à nossa velocidade:

Resposta

A velocidade da partícula é , a aceleração é , e a velocidade escalar é .

Exercícios relacionados

Seja uma parametrização pelo comprimento de arco de uma curva . Sendo , o triedro de Frenet de no ponto , obtenha os itens a seguir.
Mostre que é perpendicular a para todo . (dica: derive .)
Seja a curva plana determinada pelo gráfico da função .
Mostre que a curvatura de no ponto é
Determine as componentes tangencial e normal do vetor aceleração.
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Determine o comprimento da curva dada.
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