Encontre a função curvatura das curvas a seguir. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A pergunta pede para encontrar a função curvatura da curva definida por . Para isso, vamos precisar calcular as primeiras e segundas derivadas da função vetor, fazer o produto vetorial entre elas, e então usar essas informações para encontrar a curvatura.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de em relação a , que representa a velocidade da curva. Derivando cada componente:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de , que representa a aceleração da curva. Derivando novamente cada componente de :
Passo 4
Em seguida, precisamos calcular o produto vetorial entre e . O produto vetorial está definido como:
Calculando o determinante:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a norma de , que é a magnitude do vetor velocidade:
Passo 6
Também precisamos da norma do produto vetorial que calculamos:
Passo 7
Finalmente, a função curvatura é dada pela razão entre a norma do produto vetorial e a norma de elevada ao cubo: