Encontre a função curvatura das curvas a seguir.
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A pergunta pede para encontrar a função curvatura da curva definida por . Para isso, vamos precisar calcular as primeiras e segundas derivadas da função vetor, fazer o produto vetorial entre elas, e então usar essas informações para encontrar a curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de em relação a , que representa a velocidade da curva. Derivando cada componente:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de , que representa a aceleração da curva. Derivando novamente cada componente de :

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular o produto vetorial entre e . O produto vetorial está definido como:
Calculando o determinante:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a norma de , que é a magnitude do vetor velocidade:

Passo 6

Também precisamos da norma do produto vetorial que calculamos:

Passo 7

Finalmente, a função curvatura é dada pela razão entre a norma do produto vetorial e a norma de elevada ao cubo:

Resposta

A função curvatura é .

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Determine o comprimento da curva dada.
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Determine as componentes tangencial e normal do vetor aceleração.
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Encontre a função curvatura das curvas a seguir.
.
Nos itens abaixo, determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja posição no tempo é .
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