Encontre a função curvatura das curvas a seguir.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para encontrar a função de curvatura da curva definida por
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas e geometria das curvas. Para resolver, vamos precisar calcular as primeiras e segundas derivadas das componentes da função e aplicar a fórmula da curvatura.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes da curva:
Precisamos encontrar as primeiras e segundas derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Calculando as primeiras derivadas:
Essas derivadas representam as taxas de variação das coordenadas
e
em relação ao parâmetro
.
Passo 4
Agora, vamos calcular as segundas derivadas:
As segundas derivadas nos ajudam a entender a aceleração das coordenadas
e
.
Passo 5
Com as derivadas em mãos, podemos usar a fórmula da curvatura
para uma curva parametrizada por
:
Essa fórmula nos dá a curvatura em cada ponto da curva.
Passo 6
Substituindo as derivadas que calculamos na fórmula:
Simplificamos os termos para chegar à expressão final.
Resposta
A função de curvatura da curva
é:
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Determine o comprimento da curva dada.
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Nos itens abaixo, determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja posição no tempo
é
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em
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