Encontre a função curvatura das curvas a seguir.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para encontrar a função de curvatura da curva definida por . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas e geometria das curvas. Para resolver, vamos precisar calcular as primeiras e segundas derivadas das componentes da função e aplicar a fórmula da curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da curva:
Precisamos encontrar as primeiras e segundas derivadas de e em relação a .

Passo 3

Calculando as primeiras derivadas:
Essas derivadas representam as taxas de variação das coordenadas e em relação ao parâmetro .

Passo 4

Agora, vamos calcular as segundas derivadas:
As segundas derivadas nos ajudam a entender a aceleração das coordenadas e .

Passo 5

Com as derivadas em mãos, podemos usar a fórmula da curvatura para uma curva parametrizada por :
Essa fórmula nos dá a curvatura em cada ponto da curva.

Passo 6

Substituindo as derivadas que calculamos na fórmula:
Simplificamos os termos para chegar à expressão final.

Resposta

A função de curvatura da curva é:

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Encontre a função curvatura das curvas a seguir.
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Determine o comprimento da curva dada.
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Nos itens abaixo, determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja posição no tempo é .
em
Encontre a função curvatura das curvas a seguir.
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