Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada.
r(t) = <t, t^2, t^3>

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar de uma partícula cuja função posição é dada por:
Aqui, estamos lidando com cinemática, uma parte da física que estuda o movimento das partículas. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, ou seja, derivadas, para encontrar a velocidade e a aceleração, e depois calcular a magnitude da velocidade para achar a velocidade escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se é a posição, então a velocidade é:
Vamos derivar cada componente de :
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Portanto, a velocidade é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja:
Vamos derivar cada componente de :
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Então, a aceleração é:

Passo 4

Por fim, vamos encontrar a velocidade escalar, que é a magnitude da velocidade. Para isso, usamos a fórmula da magnitude de um vetor:
Substituindo os componentes de :

Resposta

A velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula são, respectivamente:

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