Determine a curvatura de r no ponto dado em cada caso.
r(t) = raiz(2) t i + e^t j + e^(-t) k em (0, 1, 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a curvatura da curva dada por no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a fórmula da curvatura de uma curva paramétrica.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o valor de que nos dá o ponto . Vamos substituir na função :
Então, corresponde ao ponto dado.

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada de , que representa a velocidade da curva:
Avaliado em :

Passo 4

Em seguida, calculamos a segunda derivada de , que representa a aceleração da curva:
Avaliado em :

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula da curvatura para curvas parametrizadas:
Primeiro, calculamos o produto vetorial :
Calculando a magnitude desse vetor:

Passo 6

Agora, vamos calcular a magnitude de :
Elevando ao cubo:

Passo 7

Finalmente, aplicamos os valores na fórmula da curvatura:

Resposta

A curvatura da curva no ponto é .

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