Determine a curvatura de no ponto dado em cada caso. em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a curvatura da curva dada por no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a fórmula da curvatura de uma curva paramétrica.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar o valor de que nos dá o ponto . Vamos substituir na função :
Então, corresponde ao ponto dado.
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada de , que representa a velocidade da curva:
Avaliado em :
Passo 4
Em seguida, calculamos a segunda derivada de , que representa a aceleração da curva:
Avaliado em :
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula da curvatura para curvas parametrizadas:
Primeiro, calculamos o produto vetorial :
Calculando a magnitude desse vetor:
Passo 6
Agora, vamos calcular a magnitude de :
Elevando ao cubo:
Passo 7
Finalmente, aplicamos os valores na fórmula da curvatura: