Determine o comprimento da curva dada.
r(t) = cos(t) i + sen(t) j + ln(cos(t)) k, 0 <= t <= pi/4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de comprimento de curva! A gente tem uma função vetorial que descreve uma curva no espaço:
O conteúdo que vamos usar aqui é o Cálculo de Comprimento de Curva. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial e depois integrar o módulo dessa derivada no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial r(t). Lembre-se que a derivada de uma função vetorial nos dá a velocidade da curva em cada ponto.
Calculando cada componente:
  • Derivada de é
  • Derivada de é cos(t)
  • Derivada de é (usando a regra da cadeia)
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular o módulo dessa derivada, que representa a velocidade escalar da curva:
Simplificando cada termo:
Então,

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que , então:
E sabemos que , então:

Passo 5

Agora, para encontrar o comprimento da curva, vamos integrar o módulo da derivada de até :
Sabemos que a integral de sec(t) é:

Passo 6

Aplicando os limites de integração:
Calculando cada termo:
Então,

Resposta

O comprimento da curva é unidades.

Exercícios relacionados