Determine o comprimento da curva dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de comprimento de curva! A gente tem uma função vetorial que descreve uma curva no espaço:
O conteúdo que vamos usar aqui é o Cálculo de Comprimento de Curva. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial e depois integrar o módulo dessa derivada no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial
. Lembre-se que a derivada de uma função vetorial nos dá a velocidade da curva em cada ponto.
Calculando cada componente:
- Derivada de
é - Derivada de é
- Derivada de
é (usando a regra da cadeia)
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular o módulo dessa derivada, que representa a velocidade escalar da curva:
Simplificando cada termo:
Então,
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que , então:
E sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, para encontrar o comprimento da curva, vamos integrar o módulo da derivada de
até
:
Sabemos que a integral de
é:
Passo 6
Aplicando os limites de integração:
Calculando cada termo:
Então,
Resposta
O comprimento da curva é
unidades.