Para qual das seguintes séries o teste da raiz nos permite concluir a convergência da série?
sumn=1^infty (ln (n))^4 nn^2 n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série converge usando o teste da raiz. O assunto aqui é convergência de séries e vamos precisar entender como aplicar o teste da raiz para concluir se essa série específica converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o teste da raiz. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita analisando o limite da raiz enésima do termo geral da série. Matematicamente, se temos uma série L = limn to infty raiz[n]|an| , calculamos:
As conclusões do teste da raiz são:
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não é conclusivo.

Passo 3

Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série:
an = (ln n)^4nn^2n
Vamos aplicar o teste da raiz calculando .

Passo 4

Calculando a raiz enésima de raiz[n]an = raiz[n](ln n)^4nn^2n = (ln n)^4n^2 :

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite L = limn to infty (ln n)^4n^2 :
Para resolver esse limite, observamos que o numerador cresce como e o denominador como . Sabemos que cresce muito mais rápido que quando tende ao infinito.

Passo 6

Portanto, temos:
L = limn to infty (ln n)^4n^2 = 0
Porque , de acordo com o teste da raiz, a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge pelo teste da raiz.

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