Para qual das seguintes séries o teste da raiz nos permite concluir a convergência da série?
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série
converge usando o teste da raiz. O assunto aqui é convergência de séries e vamos precisar entender como aplicar o teste da raiz para concluir se essa série específica converge ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o teste da raiz. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita analisando o limite da raiz enésima do termo geral da série. Matematicamente, se temos uma série
, calculamos:
As conclusões do teste da raiz são:
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste não é conclusivo.
Passo 3
Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série:
Vamos aplicar o teste da raiz calculando
.
Passo 4
Calculando a raiz enésima de
:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite
:
Para resolver esse limite, observamos que o numerador cresce como
e o denominador como
. Sabemos que
cresce muito mais rápido que
quando
tende ao infinito.
Passo 6
Portanto, temos:
Porque
, de acordo com o teste da raiz, a série converge absolutamente.
Resposta
A série
converge pelo teste da raiz.