Então, temos a seguinte afirmação: se o limite do valor absoluto do quociente entre termos consecutivos da sequência, limn +infty | an+1an |, for menor que 1, então o valor absoluto da sequência |an| tende a 0. Vamos usar conceitos de sequências e limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa limn +infty | an+1an | < 1. Isso indica que, para termos muito grandes de n, cada termo da sequência é menor que o anterior multiplicado por um número menor que 1.
Passo 3
Vamos chamar esse limite de r, onde r < 1. Então, para n grande o suficiente, podemos dizer que:
|an+1| <= r |an|
Isso significa que cada termo da sequência está diminuindo por um fator constante r.
Passo 4
A partir disso, podemos expandir isso para vários termos:
|an| <= |an0| cdot r^n - n0
onde n0 é algum índice a partir do qual a relação vale. Como r < 1, r^n - n0 tende a 0 conforme n cresce.
Passo 5
Então, multiplicando |an0| por algo que tende a 0 também faz com que |an| tenda a 0. Isso confirma que a sequência |an| realmente converge para 0.