Determine o comprimento da curva dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento da curva que é dada pela função vetorial , onde varia de 0 a 1. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de comprimento de curvas no espaço. Vamos precisar calcular a derivada da função vetorial e depois integrar o módulo dessa derivada no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da função vetorial em relação a . A derivada nos dá a velocidade com que a curva está mudando em cada ponto.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o módulo dessa derivada, que nos dá a velocidade escalar. O módulo de um vetor é dado por .
Aplicando isso à :

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a integração:
Observando que , então:

Passo 5

Agora que temos o módulo da derivada, podemos calcular o comprimento da curva usando a fórmula:

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Calculando cada parte:

Resposta

O comprimento da curva é igual a unidades.

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Determine os pontos críticos das seguintes funçöes: ;
Determine e :
(23.1)
Determine os extremos absolutos se existirem das funçōes definida nos intervalos indicados:
Reparametrize a curva com relação ao comprimento de arco medido a partir do ponto onde na direção crescente de .