Determine o comprimento da curva dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento da curva que é dada pela função vetorial
, onde
varia de 0 a 1. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de comprimento de curvas no espaço. Vamos precisar calcular a derivada da função vetorial e depois integrar o módulo dessa derivada no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada da função vetorial
em relação a
. A derivada nos dá a velocidade com que a curva está mudando em cada ponto.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o módulo dessa derivada, que nos dá a velocidade escalar. O módulo de um vetor
é dado por
.
Aplicando isso à
:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a integração:
Observando que
, então:
Passo 5
Agora que temos o módulo da derivada, podemos calcular o comprimento da curva usando a fórmula:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Calculando cada parte:
Resposta
O comprimento da curva é igual a
unidades.
Exercícios relacionados
Determine os pontos críticos das seguintes funçöes:
;
Determine
e
:
(23.1)
(23.1)
Determine os extremos absolutos se existirem das funçōes definida nos intervalos indicados:
Reparametrize a curva com relação ao comprimento de arco medido a partir do ponto onde
na direção crescente de
.