Reparametrize a curva com relação ao comprimento de arco medido a partir do ponto onde na direção crescente de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para reparametrizar uma curva usando o comprimento de arco, que é a distância percorrida ao longo da curva a partir do ponto onde , indo na direção crescente de . A curva está definida pela função vetorial , para . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é reparametrização, calcular o comprimento de arco e expressar a curva em termos desse comprimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é reparametrização. Basicamente, é mudar a variável que usamos para descrever a curva. No caso, queremos usar o comprimento de arco em vez do parâmetro . Para isso, precisamos encontrar uma relação entre e .

Passo 3

Para encontrar em termos de , precisamos calcular o comprimento de arco desde até um ponto geral . A fórmula para o comprimento de arco é:
Aqui, é a derivada da função vetorial em relação a , e é a norma (ou módulo) dessa derivada.

Passo 4

Vamos calcular . Diferenciando cada componente de em relação a :
Calculando cada derivada:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular a norma de :
Simplificando cada termo:
Então,

Passo 6

Vamos fatorar :
Sabemos que , então:
Portanto,

Passo 7

Agora, podemos expressar :
Lembre-se que , então:
Então,
Simplificando:

Passo 8

Agora, queremos expressar em termos de . Temos:
Vamos resolver para :
Então,

Passo 9

Finalmente, reparametrizamos a curva substituindo por . A nova parametrização será:

Resposta

A reparametrização da curva em termos do comprimento de arco é:
onde .

Exercícios relacionados

Determine os extremos absolutos se existirem das funçōes definida nos intervalos indicados:
Determine o comprimento da curva dada.
Determine os vetores tangente e normal unitários e .
Utilize o Teorema 10 para encontrar a curvatura.