Reparametrize a curva com relação ao comprimento de arco medido a partir do ponto onde na direção crescente de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para reparametrizar uma curva usando o comprimento de arco, que é a distância percorrida ao longo da curva a partir do ponto onde , indo na direção crescente de . A curva está definida pela função vetorial , para . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é reparametrização, calcular o comprimento de arco e expressar a curva em termos desse comprimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é reparametrização. Basicamente, é mudar a variável que usamos para descrever a curva. No caso, queremos usar o comprimento de arco em vez do parâmetro . Para isso, precisamos encontrar uma relação entre e .
Passo 3
Para encontrar em termos de , precisamos calcular o comprimento de arco desde até um ponto geral . A fórmula para o comprimento de arco é:
Aqui, é a derivada da função vetorial em relação a , e é a norma (ou módulo) dessa derivada.
Passo 4
Vamos calcular . Diferenciando cada componente de em relação a :
Calculando cada derivada:
Para :
Para :
Para :
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular a norma de :
Simplificando cada termo:
Então,
Passo 6
Vamos fatorar :
Sabemos que , então:
Portanto,
Passo 7
Agora, podemos expressar :
Lembre-se que , então:
Então,
Simplificando:
Passo 8
Agora, queremos expressar em termos de . Temos:
Vamos resolver para :
Então,
Passo 9
Finalmente, reparametrizamos a curva substituindo por . A nova parametrização será:
Resposta
A reparametrização da curva em termos do comprimento de arco é: