Determine os pontos críticos das seguintes funçöes: ;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar os pontos críticos da função .
Pontos críticos são os valores de onde a derivada da função é igual a zero ou não existe. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e funções trigonométricas.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada da função . A função dada é .
Para derivar , vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos ajuda a derivar funções compostas.
Primeiro, identifique a função externa e a função interna:
  • Função externa: , onde
  • Função interna:
Derivando a função externa em relação a :
Agora, derivando a função interna em relação a :
Aplicando a regra da cadeia:
A derivada da constante é zero. Portanto, a derivada total da função é:

Passo 3

Agora que temos , vamos encontrar os pontos onde essa derivada é igual a zero.
Primeiro, igualamos a derivada a zero:
Podemos dividir ambos os lados por 4 (já que 4 ≠ 0):
Isso significa que ou ou .

Passo 4

Vamos resolver cada equação separadamente.
  1. Quando :
    é
  2. Quando :
    é

Passo 5

Portanto, os pontos críticos da função são todos os valores de que satisfazem:
onde é qualquer número inteiro ( ).

Resposta

Os pontos críticos da função são todos os valores de tais que:
onde é um número inteiro.

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Determine e :
(23.1)
Determine e :
(23.4)
Determine o comprimento da curva dada.
Determine os extremos absolutos se existirem das funçōes definida nos intervalos indicados: