Determine os extremos absolutos se existirem das funçōes definida nos intervalos indicados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os extremos absolutos da função
no intervalo
. Isso entra no conteúdo de cálculo, especificamente em análise de funções para determinar máximos e mínimos. Vamos precisar usar derivadas para achar os pontos críticos onde esses extremos podem ocorrer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são extremos absolutos. São os maiores e menores valores que uma função atinge em um intervalo específico. Para encontrá-los, precisamos verificar os valores da função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função e é definida como:
Isso nos ajuda a identificar onde a função tem inclinações que mudam de crescente para decrescente ou vice-versa.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são onde a derivada é zero ou não existe. No nosso caso:
Resolvendo:
Mas como estamos no intervalo
, o único ponto crítico relevante é
.
Passo 5
Em seguida, vamos avaliar a função
nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo:
- Em
:
- Em
:
Resposta
Os extremos absolutos da função
no intervalo
são:
- Máximo absoluto em
com valor - Mínimo absoluto em
com valor
Exercícios relacionados
Determine o comprimento da curva dada.
Determine os pontos críticos das seguintes funçöes:
;
Reparametrize a curva com relação ao comprimento de arco medido a partir do ponto onde
na direção crescente de
.
Determine os vetores tangente e normal unitários
e
.