Encontre a curvatura de r(t) = <t, t^2, t^3> no ponto (1, 1, 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de curvatura! A gente tem uma curva paramétrica definida por e precisa encontrar a curvatura dela no ponto (1, 1, 1). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função r(t). A derivada de um vetor é feita derivando cada uma das suas componentes:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de r(t), que é a derivada da primeira derivada:

Passo 4

A fórmula para a curvatura kappa(t) de uma curva paramétrica é:
Aqui, x vezes y representa o produto vetorial e a norma do vetor.

Passo 5

Primeiro, precisamos encontrar o valor de t que corresponde ao ponto (1, 1, 1). Observando a função , vemos que para t = 1 temos:
Então, t = 1 é o valor que vamos usar.

Passo 6

Vamos calcular e :

Passo 7

Agora, calculamos o produto vetorial :
Calculando a norma desse vetor:
Agora, a norma de :
Elevando ao cubo:
Finalmente, a curvatura:

Resposta

A curvatura da curva no ponto (1, 1, 1) é aproximadamente .

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