Beleza, vamos resolver esse exercício de curvatura! A gente tem uma curva paramétrica definida por e precisa encontrar a curvatura dela no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . A derivada de um vetor é feita derivando cada uma das suas componentes:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de , que é a derivada da primeira derivada:
Passo 4
A fórmula para a curvatura de uma curva paramétrica é:
Aqui, representa o produto vetorial e a norma do vetor.
Passo 5
Primeiro, precisamos encontrar o valor de que corresponde ao ponto . Observando a função , vemos que para temos:
Então, é o valor que vamos usar.
Passo 6
Vamos calcular e :
Passo 7
Agora, calculamos o produto vetorial :
Calculando a norma desse vetor:
Agora, a norma de :
Elevando ao cubo:
Finalmente, a curvatura:
Resposta
A curvatura da curva no ponto (1, 1, 1) é aproximadamente .