Encontre a curvatura de no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de curvatura! A gente tem uma curva paramétrica definida por e precisa encontrar a curvatura dela no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . A derivada de um vetor é feita derivando cada uma das suas componentes:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de , que é a derivada da primeira derivada:

Passo 4

A fórmula para a curvatura de uma curva paramétrica é:
Aqui, representa o produto vetorial e a norma do vetor.

Passo 5

Primeiro, precisamos encontrar o valor de que corresponde ao ponto . Observando a função , vemos que para temos:
Então, é o valor que vamos usar.

Passo 6

Vamos calcular e :

Passo 7

Agora, calculamos o produto vetorial :
Calculando a norma desse vetor:
Agora, a norma de :
Elevando ao cubo:
Finalmente, a curvatura:

Resposta

A curvatura da curva no ponto é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Determine o comprimento da curva dada.
Utilize a fórmula do Exercício 61(d) para calcular a torção da curva
Derive a função.
Derive.