Determine o comprimento da curva dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o comprimento de uma curva que é definida por uma função vetorial , onde varia de até . A matéria que vamos usar aqui é cálculo, mais especificamente o conceito de comprimento de arco para curvas no espaço. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial e usar a fórmula do comprimento de arco.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial em relação a . Isso significa derivar cada componente da função:

Passo 3

Calculando cada derivada individualmente:
  • (Lembre-se que a derivada de é )
Então, a derivada fica:

Passo 4

Agora, para encontrar o comprimento da curva, usamos a fórmula do comprimento de arco:
Onde é a magnitude (ou norma) do vetor derivada. Vamos calcular essa magnitude:

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da raiz:
Isso fica um pouco complicado para integrar diretamente, mas vamos manter dessa forma para expressar o comprimento da curva.

Passo 6

Portanto, o comprimento da curva é dado por:

Resposta

O comprimento da curva é .

Exercícios relacionados

Determine e :
(23.3)
Utilize o Teorema 10 para encontrar a curvatura.
Reparametrize a curva com relação ao comprimento de arco medido a partir do ponto onde na direção crescente de .
Determine os vetores tangente e normal unitários e .