Determine o comprimento da curva dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o comprimento de uma curva que é definida por uma função vetorial , onde
varia de
até
. A matéria que vamos usar aqui é cálculo, mais especificamente o conceito de comprimento de arco para curvas no espaço. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial e usar a fórmula do comprimento de arco.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial
em relação a
. Isso significa derivar cada componente da função:
Passo 3
Calculando cada derivada individualmente:
-
-
- (Lembre-se que a derivada de
é )
Então, a derivada fica:
Passo 4
Agora, para encontrar o comprimento da curva, usamos a fórmula do comprimento de arco:
Onde
é a magnitude (ou norma) do vetor derivada. Vamos calcular essa magnitude:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Isso fica um pouco complicado para integrar diretamente, mas vamos manter dessa forma para expressar o comprimento da curva.
Passo 6
Portanto, o comprimento da curva é dado por:
Resposta
O comprimento da curva é
.
Exercícios relacionados
Determine
e
:
(23.3)
(23.3)
Utilize o Teorema 10 para encontrar a curvatura.
Reparametrize a curva com relação ao comprimento de arco medido a partir do ponto onde
na direção crescente de
.
Determine os vetores tangente e normal unitários
e
.