Reparametrize a curva com relação ao comprimento de arco medido a partir do ponto onde t = 0 na direção crescente de t. r(t) = e^(t) sen(t) i + e^(t) cos(t) j

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva definida por . A missão é reparametrizar essa curva em relação ao comprimento de arco, que é basicamente medir a distância ao longo da curva a partir do ponto onde . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a velocidade da curva, que é a derivada de em relação a . Isso vai nos ajudar a calcular o comprimento de arco.

Passo 3

Vamos derivar cada componente:
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular a magnitude da velocidade, que é :

Passo 5

Simplificando dentro da raiz:

Passo 6

O comprimento de arco desde até um ponto é dado por:

Passo 7

Agora, precisamos expressar em função de . Temos:

Passo 8

Finalmente, substituímos na expressão original da curva para obter a reparametrização em termos de :

Resposta

A reparametrização da curva em termos do comprimento de arco é:

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