Reparametrize a curva com relação ao comprimento de arco medido a partir do ponto onde
na direção crescente de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva definida por
. A missão é reparametrizar essa curva em relação ao comprimento de arco, que é basicamente medir a distância ao longo da curva a partir do ponto onde
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar a velocidade da curva, que é a derivada de
em relação a
. Isso vai nos ajudar a calcular o comprimento de arco.
Passo 3
Vamos derivar cada componente:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a magnitude da velocidade, que é
:
Passo 5
Simplificando dentro da raiz:
Passo 6
O comprimento de arco
desde
até um ponto
é dado por:
Passo 7
Agora, precisamos expressar
em função de
. Temos:
Passo 8
Finalmente, substituímos
na expressão original da curva
para obter a reparametrização em termos de
:
Resposta
A reparametrização da curva em termos do comprimento de arco
é:
Exercícios relacionados
Determine o comprimento da curva dada.
Determine
e
:
(23.3)
(23.3)
Determine os vetores tangente e normal unitários
e
.
Utilize o Teorema 10 para encontrar a curvatura.