Determine partial varphipartial x e partial varphipartial y :
(23.3) varphi(x, y)=integral1^x ln (t y)t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para determinar as derivadas parciais de varphi(x, y) = integral1^x ln(t y)t , dt em relação a e , onde
Matéria envolvida: Cálculo Diferencial, mais especificamente derivadas parciais e o Teorema Fundamental do Cálculo.
O que vamos precisar: Saber como derivar uma integral definida em relação a uma das variáveis que está nos limites ou na função integranda.

Passo 2

Vamos começar encontrando partial varphipartial x = ln(x y)x .
Teoria aplicada: O Teorema Fundamental do Cálculo nos diz que se temos uma função definida por uma integral com limite superior sendo a variável, a derivada dessa função em relação a essa variável é igual à integranda avaliada nesse limite.
Aplicando isso ao nosso caso:

Passo 3

Agora, vamos encontrar partialpartial y ( ln(t y)t ) = 1t y .
Teoria aplicada: Para derivar a função partial varphipartial y = integral1^x 1t y , dt = 1y integral1^x 1t , dt = 1y [ln(x) - ln(1)] = ln(x)y em relação a , precisamos derivar a função dentro da integral com relação a , já que está presente na função integranda.
Primeiro, derivamos a função integranda em relação a :
Agora, integramos essa derivada de a :

Resposta

As derivadas parciais de partial varphipartial x = ln(x y)x são:
partial varphipartial y = ln(x)y
e

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