Determine e :
(23.3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para determinar as derivadas parciais de em relação a e , onde
Matéria envolvida: Cálculo Diferencial, mais especificamente derivadas parciais e o Teorema Fundamental do Cálculo.
O que vamos precisar: Saber como derivar uma integral definida em relação a uma das variáveis que está nos limites ou na função integranda.

Passo 2

Vamos começar encontrando .
Teoria aplicada: O Teorema Fundamental do Cálculo nos diz que se temos uma função definida por uma integral com limite superior sendo a variável, a derivada dessa função em relação a essa variável é igual à integranda avaliada nesse limite.
Aplicando isso ao nosso caso:

Passo 3

Agora, vamos encontrar .
Teoria aplicada: Para derivar a função em relação a , precisamos derivar a função dentro da integral com relação a , já que está presente na função integranda.
Primeiro, derivamos a função integranda em relação a :
Agora, integramos essa derivada de a :

Resposta

As derivadas parciais de são:
e

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Utilize o Teorema 10 para encontrar a curvatura.
Determine os vetores tangente e normal unitários e .
Determine o comprimento da curva dada.
Reparametrize a curva com relação ao comprimento de arco medido a partir do ponto onde na direção crescente de .