Utilize o Teorema 10 para encontrar a curvatura. r(t) = 2t^3 i - 3t^2 j + 6t k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a curvatura da curva definida pela função vetorial r(t) = 2t^3 i - 3t^2 j + 6t k usando o Teorema 10. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas de funções vetoriais e aplicar a fórmula da curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar qual é a fórmula da curvatura kappa para uma curva dada por uma função vetorial. A fórmula que vamos usar é:
Aqui, é a primeira derivada da função vetorial, é a segunda derivada, e o símbolo x vezes y representa o produto vetorial entre os vetores.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas necessárias da função r(t).
Primeira derivada, :
Segunda derivada, :

Passo 4

Agora vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:
Simplificando:
Agora, vamos encontrar o módulo desse vetor:
Para o módulo de :
Elevando ao cubo:
Agora, aplicando na fórmula da curvatura:
Simplificando mais:

Resposta

A curvatura da curva é .

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