Determine os vetores tangente e normal unitários e .
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial que envolve encontrar os vetores tangente unitário e normal unitário para a curva dada por . Para isso, vamos precisar entender derivadas de vetores e normalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a , que nos dará o vetor velocidade . A derivada de um vetor posição é calculada derivando cada componente:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor tangente unitário . Para isso, normalizamos o vetor velocidade dividindo-o pelo seu módulo (comprimento). Primeiro, calculamos o módulo de :
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Portanto,
Agora, normalizamos :
Passo 4
Para encontrar o vetor normal unitário , precisamos derivar em relação a e, novamente, normalizar o resultado. Vamos calcular :