Determine os vetores tangente e normal unitários e .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial que envolve encontrar os vetores tangente unitário e normal unitário para a curva dada por . Para isso, vamos precisar entender derivadas de vetores e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a , que nos dará o vetor velocidade . A derivada de um vetor posição é calculada derivando cada componente:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor tangente unitário . Para isso, normalizamos o vetor velocidade dividindo-o pelo seu módulo (comprimento). Primeiro, calculamos o módulo de :
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Portanto,
Agora, normalizamos :

Passo 4

Para encontrar o vetor normal unitário , precisamos derivar em relação a e, novamente, normalizar o resultado. Vamos calcular :
Calculando cada derivada:
Então,
Agora, calculamos o módulo de :
Simplificando:
Finalmente, normalizamos para obter :

Resposta

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