Determine o comprimento da curva dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o comprimento da curva definida pela função vetorial
no intervalo de
a
. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que envolve derivar a função vetorial e integrar a magnitude dessa derivada no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função vetorial
em relação a
. Isso significa derivar cada componente da função:
Passo 3
Vamos derivar cada componente:
-
- Para
, usamos a regra do produto: - Para
, também usamos a regra do produto:
Então, a derivada da função vetorial fica:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a magnitude dessa derivada, que é dada por:
Vamos simplificar essa expressão passo a passo.
Passo 5
Primeiro, vamos calcular cada termo ao quadrado:
Substituindo na expressão da magnitude:
Passo 6
Vamos fatorar
de cada termo dentro da raiz:
Isso pode ser simplificado para:
Passo 7
Agora, vamos expandir os quadrados:
Somando esses dois resultados:
Como
, temos:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão da magnitude:
Passo 9
Agora que temos a magnitude da derivada, podemos calcular o comprimento da curva usando a fórmula do comprimento de arco:
Passo 10
A constante
pode ser tirada da integral:
A integral de
em relação a
é
, então:
Sabemos que
, então:
Resposta
O comprimento da curva é
.
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Utilize o Teorema 10 para encontrar a curvatura.
Determine os vetores tangente e normal unitários
e
.
Determine o comprimento da curva dada.
Determine o comprimento da curva dada.