Determine o comprimento da curva dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o comprimento da curva definida pela função vetorial no intervalo de a . Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que envolve derivar a função vetorial e integrar a magnitude dessa derivada no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função vetorial em relação a . Isso significa derivar cada componente da função:

Passo 3

Vamos derivar cada componente:
  1. Para , usamos a regra do produto:
  2. Para , também usamos a regra do produto:
Então, a derivada da função vetorial fica:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a magnitude dessa derivada, que é dada por:
Vamos simplificar essa expressão passo a passo.

Passo 5

Primeiro, vamos calcular cada termo ao quadrado:
Substituindo na expressão da magnitude:

Passo 6

Vamos fatorar de cada termo dentro da raiz:
Isso pode ser simplificado para:

Passo 7

Agora, vamos expandir os quadrados:
Somando esses dois resultados:
Como , temos:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da magnitude:

Passo 9

Agora que temos a magnitude da derivada, podemos calcular o comprimento da curva usando a fórmula do comprimento de arco:

Passo 10

A constante pode ser tirada da integral:
A integral de em relação a é , então:
Sabemos que , então:

Resposta

O comprimento da curva é .

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Determine o comprimento da curva dada.
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