Determine o comprimento da curva dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento da curva que está definida pelas equações paramétricas
, e
para
. Vamos usar o conteúdo de cálculo, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva no espaço. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções em relação a
e aplicar a fórmula adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada no espaço. Se temos
,
e
, o comprimento
da curva de
até
é dado por:
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas de
,
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas:
- Para
:
- Para :
- Para
:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Note que os termos e se cancelam. Então:
Portanto, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral
. Sabemos que:
Mas para simplificar, podemos usar a substituição trigonométrica ou reconhecer que a derivada de
é
. Então, aplicando os limites de
a
:
Calculando em
:
E em
:
Resposta
O comprimento da curva é dado por:
Exercícios relacionados
Determine o comprimento da curva dada.
Determine o comprimento da curva dada.
Reparametrize a curva com relação ao comprimento de arco medido a partir do ponto onde
na direção crescente de
.
Determine os vetores tangente e normal unitários
e
.