Determine o comprimento da curva dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento da curva que está definida pelas equações paramétricas , e para . Vamos usar o conteúdo de cálculo, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva no espaço. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções em relação a e aplicar a fórmula adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada no espaço. Se temos , e , o comprimento da curva de até é dado por:
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas de , e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Note que os termos e se cancelam. Então:
Portanto, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral . Sabemos que:
Mas para simplificar, podemos usar a substituição trigonométrica ou reconhecer que a derivada de é . Então, aplicando os limites de a :
Calculando em :
E em :

Resposta

O comprimento da curva é dado por:

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