Determine o comprimento da curva dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento de uma curva no espaço tridimensional. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada. Vamos precisar das funções que descrevem a curva e das derivadas delas em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada por , e no intervalo :
No nosso caso, as funções são:
e o intervalo é de a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de , e em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 5

Vamos fatorar o 4 dentro da raiz para simplificar a integral:
Isso fica:

Passo 6

Para resolver essa integral, usamos uma substituição trigonométrica ou consultamos uma tabela de integrais. A integral de é um pouco complicada, mas sabemos que ela resulta em:

Passo 7

Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
Simplificando:

Resposta

O comprimento da curva é:

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