Determine o comprimento da curva dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento de uma curva no espaço tridimensional. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada. Vamos precisar das funções que descrevem a curva e das derivadas delas em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento
de uma curva parametrizada por
,
e
no intervalo
:
No nosso caso, as funções são:
e o intervalo é de
a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
,
e
em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Vamos fatorar o 4 dentro da raiz para simplificar a integral:
Isso fica:
Passo 6
Para resolver essa integral, usamos uma substituição trigonométrica ou consultamos uma tabela de integrais. A integral de
é um pouco complicada, mas sabemos que ela resulta em:
Passo 7
Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
Simplificando:
Resposta
O comprimento da curva é:
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na direção crescente de
.