Utilize o Teorema 10 para encontrar a curvatura.

Passo 1

Vamos resolver um exercício que pede para encontrar a curvatura de uma curva usando o Teorema 10. A curva dada é descrita pela função vetorial . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente como calcular a curvatura de uma curva paramétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a curvatura de uma curva definida por pode ser calculada usando a seguinte fórmula:
Aqui, é a primeira derivada de em relação a , que representa o vetor velocidade, e é a segunda derivada, que representa o vetor aceleração.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de :

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de :

Passo 5

Em seguida, vamos calcular o produto vetorial :
Lembre que e .

Passo 6

Agora vamos calcular o módulo de :

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula da curvatura:

Resposta

A curvatura da curva é .

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Determine os vetores tangente e normal unitários e .
Reparametrize a curva com relação ao comprimento de arco medido a partir do ponto onde na direção crescente de .
Determine o comprimento da curva dada.
Determine o comprimento da curva dada.