Utilize o Teorema 10 para encontrar a curvatura.
Passo 1
Vamos resolver um exercício que pede para encontrar a curvatura de uma curva usando o Teorema 10. A curva dada é descrita pela função vetorial
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente como calcular a curvatura de uma curva paramétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a curvatura
de uma curva definida por
pode ser calculada usando a seguinte fórmula:
Aqui,
é a primeira derivada de
em relação a
, que representa o vetor velocidade, e
é a segunda derivada, que representa o vetor aceleração.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular o produto vetorial
:
Lembre que
e
.
Passo 6
Agora vamos calcular o módulo de
:
Passo 7
Substituindo os valores na fórmula da curvatura:
Resposta
A curvatura da curva é
.
Exercícios relacionados
Determine os vetores tangente e normal unitários
e
.
Reparametrize a curva com relação ao comprimento de arco medido a partir do ponto onde
na direção crescente de
.
Determine o comprimento da curva dada.
Determine o comprimento da curva dada.