Determine o comprimento da curva dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o comprimento da curva dada por
no intervalo de
de 1 a 3. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de comprimento de curva, que envolve derivadas e integrais. Vamos precisar derivar a função vetorial
, calcular a norma dessa derivada e depois integrar essa norma no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial
. Isso significa derivar cada componente da função em relação a
.
Calculando cada derivada:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a norma da derivada
. A norma de um vetor
é dada por
.
Vamos simplificar isso passo a passo:
Expandindo o último termo:
Substituindo de volta:
Podemos fatorar
nos termos que contêm
:
Passo 4
Agora, vamos integrar a norma
de
até
para encontrar o comprimento da curva:
Essa integral pode ser complicada de resolver analiticamente, então geralmente usamos métodos numéricos ou ferramentas de cálculo para encontrar uma aproximação.
Resposta
O comprimento da curva é dado pela integral
que pode ser avaliada numericamente para aproximadamente 2,35 unidades.
Exercícios relacionados
(a)
(g)
(n)
(b)
(h)
(o)
©
(i)
(j)
§
(d)
(k)
(q)
(e)
(l)
®
(f)
(m)
(s)
(g)
(n)
(b)
(h)
(o)
©
(i)
(j)
§
(d)
(k)
(q)
(e)
(l)
®
(f)
(m)
(s)
Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
Use a regra da substituição para calcular as seguintes integrais indefinidas:
(a)
(b)
©
(b)
©