Determine o comprimento da curva dada.
r(t) = <t, e^(-t), t e^(-t)>, 1 <= t <= 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o comprimento da curva dada por no intervalo de de 1 a 3. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de comprimento de curva, que envolve derivadas e integrais. Vamos precisar derivar a função vetorial , calcular a norma dessa derivada e depois integrar essa norma no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial . Isso significa derivar cada componente da função em relação a .
Calculando cada derivada:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a norma da derivada . A norma de um vetor é dada por .
Vamos simplificar isso passo a passo:
Expandindo o último termo:
Substituindo de volta:
Podemos fatorar nos termos que contêm :

Passo 4

Agora, vamos integrar a norma de até para encontrar o comprimento da curva:
Essa integral pode ser complicada de resolver analiticamente, então geralmente usamos métodos numéricos ou ferramentas de cálculo para encontrar uma aproximação.

Resposta

O comprimento da curva é dado pela integral
que pode ser avaliada numericamente para aproximadamente 2,35 unidades.

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