Use a regra da substituição para calcular as seguintes integrais indefinidas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, a matéria que vamos usar é a regra da substituição para integrais. Para isso, precisamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma variável mais simples, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função interna dentro do seno, que é . Vamos fazer a substituição . Isso vai simplificar a integral.

Passo 3

Agora, derivamos em relação a para encontrar :

Isso significa que:

Passo 4

Substituímos e na integral original:

Passo 5

Agora, integramos :

Passo 6

Voltamos à variável original substituindo :

Passo 7

Vamos resolver a integral . A gente vai usar a regra da substituição, identificando uma função interna que facilite a integração.

Passo 8

Identificamos a função interna . Então, fazemos a substituição .

Passo 9

Derivando em relação a :

Logo:

Passo 10

Substituindo na integral:

Passo 11

Integramos :

Passo 12

Voltando para :

Passo 13

Vamos resolver a integral . Usaremos a regra da substituição para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 14

Identificamos a função interna .

Passo 15

Derivando em relação a :

Logo:

Passo 16

Substituindo na integral:

Passo 17

Integramos :

Passo 18

Voltando para :

Passo 19

Vamos resolver a integral . A estratégia será usar a substituição para facilitar a integração.

Passo 20

Vamos substituir .

Passo 21

Derivando :

Então:

Passo 22

Substituindo na integral:

Passo 23

Integramos :

Passo 24

Voltando para :

Passo 25

Vamos resolver a integral . A gente vai usar a regra da substituição para simplificar a fração.

Passo 26

Escolhemos como substituição.

Passo 27

Derivando :

Então:

Passo 28

Substituindo na integral:

Passo 29

A integral de é o logaritmo natural:

Passo 30

Voltando para :

Passo 31

Vamos resolver a integral . Aqui, a gente vai usar a regra da substituição identificando uma função dentro do seno que facilita a integração.

Passo 32

Observamos que pode ser uma boa substituição, já que a derivada de é , que aparece na multiplicação.

Passo 33

Derivando :

Então:

Passo 34

Substituindo na integral:

Passo 35

Integramos :

Passo 36

Voltando para :

Passo 37

Vamos resolver a integral . A estratégia será usar a substituição para facilitar a integração.

Passo 38

Escolhemos como substituição.

Passo 39

Derivando :

Então:

Passo 40

Substituindo na integral:

Passo 41

A integral de é:

Passo 42

Voltando para :

Passo 43

Vamos resolver a integral . Vamos usar a regra da substituição para simplificar a expressão antes da integração.

Passo 44

Selecionamos como substituição.

Passo 45

Derivando :

Então:

Passo 46

Substituindo na integral:

Passo 47

A integral de é:

Passo 48

Voltando para :

Passo 49

Vamos resolver a integral . A gente vai usar a regra da substituição para facilitar a integração.

Passo 50

Escolhemos como substituição.

Passo 51

Derivando :

Então:

Passo 52

Substituindo na integral:

Passo 53

A integral de é o logaritmo natural:

Passo 54

Voltando para :

Passo 55

Vamos resolver a integral . Vamos usar a regra da substituição para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 56

Observamos que o denominador é , então fazemos a substituição .

Passo 57

Derivando :

Então:

Passo 58

Substituindo na integral:

Passo 59

Integramos :

Passo 60

Voltando para :

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Determine o comprimento da curva dada.
(a)
(g)
(n)
(b)
(h)
(o)
©
(i)
(j)
§
(d)
(k)
(q)
(e)
(l)
®
(f)
(m)
(s)
(a)
(b)
©
(a) ( ) Toda sequência limitada é convergente;
(b) ( ) Toda sequência limitada é monótona;
© ( ) Toda sequência monótona é limitada;
(d) ( ) Toda sequência divergente é não monótona;
(e) ( ) Toda sequência convergente é monótona;
(f) ( ) Toda sequência divergente é não limitada;
(g) ( ) Se e são sequências tais que , então a é convergente;
(h) ( ) A sequência definida por e é convergente;
(i) ( ) Se , tal que é convergente, então é convergente;
(j) ( ) Se (|ant) é convergente, então é convergente;
(k) ( ) Se converge e , então converge;
(l) ( ) Se e divergem, então diverge;
(m) ( ) Se converge, então converge;
(n) ( ) Se e divergem, então converge;
(o) ( ) Se diverge, então ;
§ ( ) Se diverge, então diverge;
(q) ( ) Se diverge e , então converge;
® ( ) Se é uma sequência constante, então diverge;
(s) ( ) Se e diverge, então diverge.
(t) ( ) Se e converge, então converge.