Use a regra da substituição para calcular as seguintes integrais indefinidas:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, a matéria que vamos usar é a regra da substituição para integrais. Para isso, precisamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma variável mais simples, facilitando a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função interna dentro do seno, que é
. Vamos fazer a substituição
. Isso vai simplificar a integral.
Passo 3
Agora, derivamos
em relação a
para encontrar
:
Isso significa que:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Passo 5
Agora, integramos
:
Passo 6
Voltamos à variável original substituindo
:
Passo 7
Vamos resolver a integral
. A gente vai usar a regra da substituição, identificando uma função interna que facilite a integração.
Passo 8
Identificamos a função interna
. Então, fazemos a substituição
.
Passo 9
Derivando
em relação a
:
Logo:
Passo 10
Substituindo na integral:
Passo 11
Integramos
:
Passo 12
Voltando para
:
Passo 13
Vamos resolver a integral
. Usaremos a regra da substituição para simplificar a expressão antes de integrar.
Passo 14
Identificamos a função interna
.
Passo 15
Derivando
em relação a
:
Logo:
Passo 16
Substituindo na integral:
Passo 17
Integramos
:
Passo 18
Voltando para
:
Passo 19
Vamos resolver a integral
. A estratégia será usar a substituição para facilitar a integração.
Passo 20
Vamos substituir
.
Passo 21
Derivando
:
Então:
Passo 22
Substituindo na integral:
Passo 23
Integramos
:
Passo 24
Voltando para
:
Passo 25
Vamos resolver a integral
. A gente vai usar a regra da substituição para simplificar a fração.
Passo 26
Escolhemos
como substituição.
Passo 27
Derivando
:
Então:
Passo 28
Substituindo na integral:
Passo 29
A integral de
é o logaritmo natural:
Passo 30
Voltando para
:
Passo 31
Vamos resolver a integral
. Aqui, a gente vai usar a regra da substituição identificando uma função dentro do seno que facilita a integração.
Passo 32
Observamos que
pode ser uma boa substituição, já que a derivada de
é
, que aparece na multiplicação.
Passo 33
Derivando
:
Então:
Passo 34
Substituindo na integral:
Passo 35
Integramos
:
Passo 36
Voltando para
:
Passo 37
Vamos resolver a integral
. A estratégia será usar a substituição para facilitar a integração.
Passo 38
Escolhemos
como substituição.
Passo 39
Derivando
:
Então:
Passo 40
Substituindo na integral:
Passo 41
A integral de
é:
Passo 42
Voltando para
:
Passo 43
Vamos resolver a integral
. Vamos usar a regra da substituição para simplificar a expressão antes da integração.
Passo 44
Selecionamos
como substituição.
Passo 45
Derivando
:
Então:
Passo 46
Substituindo na integral:
Passo 47
A integral de
é:
Passo 48
Voltando para
:
Passo 49
Vamos resolver a integral
. A gente vai usar a regra da substituição para facilitar a integração.
Passo 50
Escolhemos
como substituição.
Passo 51
Derivando
:
Então:
Passo 52
Substituindo na integral:
Passo 53
A integral de
é o logaritmo natural:
Passo 54
Voltando para
:
Passo 55
Vamos resolver a integral
. Vamos usar a regra da substituição para simplificar a expressão antes de integrar.
Passo 56
Observamos que o denominador é
, então fazemos a substituição
.
Passo 57
Derivando
:
Então:
Passo 58
Substituindo na integral:
Passo 59
Integramos
:
Passo 60
Voltando para
:
Resposta
A integral é igual a
.