Use a regra da substituição para calcular as seguintes integrais indefinidas:
  1. integral sin (2 x) d x
  2. integral cos (5 x) d x
  3. integral(3 x-2)^3 d x
  4. integral raiz3 x-2 d x
  5. integral 12 x-1 d x
  6. integral x sin (x^2) d x
  7. integral x e^x^2 d x
  8. integral x^2 e^x^3 d x
  9. integral x1+4 x^2 d x
  10. integral sin xcos ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral sin(2x) , dx. Aqui, a matéria que vamos usar é a regra da substituição para integrais. Para isso, precisamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma variável mais simples, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função interna dentro do seno, que é 2x. Vamos fazer a substituição u = 2x. Isso vai simplificar a integral.

Passo 3

Agora, derivamos u em relação a x para encontrar du:
du = 2 , dx
Isso significa que:
dx = du2

Passo 4

Substituímos u e dx na integral original:
integral sin(2x) , dx = integral sin(u) cdot du2 = 12 integral sin(u) , du

Passo 5

Agora, integramos sin(u):
integral sin(u) , du = -cos(u) + C

Passo 6

Voltamos à variável original substituindo u = 2x:
-cos(u) + C = -cos(2x) + C

Passo 7

Vamos resolver a integral integral cos(5x) , dx. A gente vai usar a regra da substituição, identificando uma função interna que facilite a integração.

Passo 8

Identificamos a função interna 5x. Então, fazemos a substituição u = 5x.

Passo 9

Derivando u em relação a x:
du = 5 , dx
Logo:
dx = du5

Passo 10

Substituindo na integral:
integral cos(5x) , dx = integral cos(u) cdot du5 = 15 integral cos(u) , du

Passo 11

Integramos cos(u):
integral cos(u) , du = sin(u) + C

Passo 12

Voltando para x:
sin(u) + C = sin(5x) + C

Passo 13

Vamos resolver a integral integral(3x - 2)^3 , dx. Usaremos a regra da substituição para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 14

Identificamos a função interna u = 3x - 2.

Passo 15

Derivando u em relação a x:
du = 3 , dx
Logo:
dx = du3

Passo 16

Substituindo na integral:
integral (u)^3 cdot du3 = 13 integral u^3 , du

Passo 17

Integramos u^3:
integral u^3 , du = u^44 + C

Passo 18

Voltando para x:
u^44 + C = (3x - 2)^44 + C

Passo 19

Vamos resolver a integral integral raiz3x - 2 , dx. A estratégia será usar a substituição para facilitar a integração.

Passo 20

Vamos substituir u = 3x - 2.

Passo 21

Derivando u:
du = 3 , dx
Então:
dx = du3

Passo 22

Substituindo na integral:
integral raizu cdot du3 = 13 integral u^1/2 , du

Passo 23

Integramos u^1/2:
integral u^1/2 , du = u^3/232 + C = 23 u^3/2 + C

Passo 24

Voltando para x:
23 u^3/2 + C = 23 (3x - 2)^3/2 + C

Passo 25

Vamos resolver a integral integral 12x - 1 , dx. A gente vai usar a regra da substituição para simplificar a fração.

Passo 26

Escolhemos u = 2x - 1 como substituição.

Passo 27

Derivando u:
du = 2 , dx
Então:
dx = du2

Passo 28

Substituindo na integral:
integral 1u cdot du2 = 12 integral 1u , du

Passo 29

A integral de 1u é o logaritmo natural:
integral 1u , du = ln|u| + C

Passo 30

Voltando para x:
ln|u| + C = ln|2x - 1| + C

Passo 31

Vamos resolver a integral integral x sin(x^2) , dx. Aqui, a gente vai usar a regra da substituição identificando uma função dentro do seno que facilita a integração.

Passo 32

Observamos que u = x^2 pode ser uma boa substituição, já que a derivada de x^2 é 2x, que aparece na multiplicação.

Passo 33

Derivando u:
du = 2x , dx
Então:
x , dx = du2

Passo 34

Substituindo na integral:
integral x sin(x^2) , dx = integral sin(u) cdot du2 = 12 integral sin(u) , du

Passo 35

Integramos sin(u):
integral sin(u) , du = -cos(u) + C

Passo 36

Voltando para x:
-cos(u) + C = -cos(x^2) + C

Passo 37

Vamos resolver a integral integral x e^x^2 , dx. A estratégia será usar a substituição para facilitar a integração.

Passo 38

Escolhemos u = x^2 como substituição.

Passo 39

Derivando u:
du = 2x , dx
Então:
x , dx = du2

Passo 40

Substituindo na integral:
integral x e^x^2 , dx = integral e^u cdot du2 = 12 integral e^u , du

Passo 41

A integral de e^u é:
integral e^u , du = e^u + C

Passo 42

Voltando para x:
e^u + C = e^x^2 + C

Passo 43

Vamos resolver a integral integral x^2 e^x^3 , dx. Vamos usar a regra da substituição para simplificar a expressão antes da integração.

Passo 44

Selecionamos u = x^3 como substituição.

Passo 45

Derivando u:
du = 3x^2 , dx
Então:
x^2 , dx = du3

Passo 46

Substituindo na integral:
integral x^2 e^x^3 , dx = integral e^u cdot du3 = 13 integral e^u , du

Passo 47

A integral de e^u é:
integral e^u , du = e^u + C

Passo 48

Voltando para x:
e^u + C = e^x^3 + C

Passo 49

Vamos resolver a integral integral x1 + 4x^2 , dx. A gente vai usar a regra da substituição para facilitar a integração.

Passo 50

Escolhemos u = 1 + 4x^2 como substituição.

Passo 51

Derivando u:
du = 8x , dx
Então:
x , dx = du8

Passo 52

Substituindo na integral:
integral x1 + 4x^2 , dx = integral 1u cdot du8 = 18 integral 1u , du

Passo 53

A integral de 1u é o logaritmo natural:
integral 1u , du = ln|u| + C

Passo 54

Voltando para x:
ln|u| + C = ln|1 + 4x^2| + C

Passo 55

Vamos resolver a integral integral sin xcos^2 x , dx. Vamos usar a regra da substituição para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 56

Observamos que o denominador é cos^2x, então fazemos a substituição u = cos x.

Passo 57

Derivando u:
du = -sin x , dx
Então:
sin x , dx = -du

Passo 58

Substituindo na integral:
integral sin xcos^2 x , dx = integral -duu^2 = -integral u^-2 , du

Passo 59

Integramos u^-2:
-integral u^-2 , du = -( u^-1-1 ) + C = 1u + C

Passo 60

Voltando para x:
1u + C = 1cos x + C = sec x + C

Resposta

A integral é igual a sec x + C.

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