Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral número 1: . A gente vai usar o método das frações parciais, que é uma técnica para quebrar frações complicadas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e depois separar a fração original em frações menores.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser escrita como:

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração como a soma de duas frações parciais:
Onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar e , vamos multiplicar ambos os lados da equação por :

Passo 5

Agora, vamos escolher valores de que simplifiquem a equação para resolver e . Vamos primeiro escolher :

Passo 6

Em seguida, vamos escolher :

Passo 7

Agora que temos e , podemos escrever a fração original como:

Passo 8

Agora, vamos integrar cada parte separadamente:

Passo 9

Integrando cada termo, temos:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Seja .
(a) Calcule .
(b) Determine o domínio de .
© Determine a imagem de .
Use as substituições trigonométricas para calcular:
(a)
(g)
(n)
(b)
(h)
(o)
©
(i)
(j)
§
(d)
(k)
(q)
(e)
(l)
®
(f)
(m)
(s)
Determine o comprimento da curva dada.