Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
  1. integral d xx^2-4
  2. integral x^2x^2+x-6 d x
  3. integral 4 x-2x^3-x^2-2 x d x
  4. integral 1x^2(x+1)^2 d x
  5. integral 3 x^2-x+1x^3-x^2 d x
  6. integral x^2-3 x-7(2 x+3)(x+1)^2 d x
  7. integral x^4+3 x^3-5 x^2-4 x+17x^3+x^2-5 x+3 d x
  8. integral 2 x^4-2 x+12 x^5-x^4 d x
  9. integral -24 x^3+30 x^2+52 x+179 x^4-6 x^3-11 x^2+4 x+4 d x
  10. integral0^4 x-22 x^2+7 x+3 d x
  11. integral1^4 2 x^2+13 x+18x^3+6 x^2+9 x d x
  12. integral0^1 3 x^2+7 xx^3+6 x^2+11 x+6 d x
  13. integral0^4 x^22 x^3+9 x^2+12 x+4 d x
  14. integral 12 x^3+x d x
  15. integral x^2-4 x-4x^3-2 x^2+4 x-8 d x
  16. integral x^2+xx^3-x^2+x-1 d x
  17. integral 2 x^2-x+2x^5+2 x^3+x d x
  18. integral 5 x^3-x^2+15 x-10(x^2-2 x+5)^2 d x
  19. integral 18(4 x^2+9)^2 d x
  20. integral-1^0 x^2(2 x^2+2 x+1)^2 d x
  21. integral (sec ^2 x+1) sec ^2 x1+tan ^3 x d x
  22. integral e^5 x(e^2 x+1)^2 d x
  23. integralpi / 6^pi / 2 cos xsin x+sin ^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral número 1: . A gente vai usar o método das frações parciais, que é uma técnica para quebrar frações complicadas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e depois separar a fração original em frações menores.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) . Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser escrita como:

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração 1(x - 2)(x + 2) = Ax - 2 + Bx + 2 como a soma de duas frações parciais:
Onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar 1 = A(x + 2) + B(x - 2) e , vamos multiplicar ambos os lados da equação por :

Passo 5

Agora, vamos escolher valores de 1 = A(2 + 2) + B(2 - 2) 1 = 4A A = 14 que simplifiquem a equação para resolver e . Vamos primeiro escolher :

Passo 6

Em seguida, vamos escolher 1 = A(-2 + 2) + B(-2 - 2) 1 = -4B B = -14 :

Passo 7

Agora que temos 1x^2 - 4 = 14(1x - 2 - 1x + 2) e , podemos escrever a fração original como:

Passo 8

Agora, vamos integrar cada parte separadamente:
integral dxx^2 - 4 = 14 integral (1x - 2 - 1x + 2) dx

Passo 9

Integrando cada termo, temos:
14 ( ln|x - 2| - ln|x + 2| ) + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral vale .

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