Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral número 1:
. A gente vai usar o método das frações parciais, que é uma técnica para quebrar frações complicadas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e depois separar a fração original em frações menores.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser escrita como:
Passo 3
Agora, vamos expressar a fração
como a soma de duas frações parciais:
Onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
:
Passo 5
Agora, vamos escolher valores de
que simplifiquem a equação para resolver
e
. Vamos primeiro escolher
:
Passo 6
Em seguida, vamos escolher
:
Passo 7
Agora que temos
e
, podemos escrever a fração original como:
Passo 8
Agora, vamos integrar cada parte separadamente:
Passo 9
Integrando cada termo, temos:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral vale
.