(a)
(b)
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(b)
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos três somas infinitas e precisamos calcular seus valores. Isso está dentro do conteúdo de séries infinitas na matemática. Para resolver, vamos usar técnicas como frações parciais e séries telescópicas. Vamos por partes!
Parte (a)
Passo 2
Primeiro, vamos entender a expressão que temos:
. Para somar essa série, podemos simplificar usando frações parciais. Frações parciais ajudam a dividir uma fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de somar.
Passo 3
Vamos decompor
em duas frações:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
e
. Escolhemos valores de
que facilitam:
- Se
:
- Se
:
Portanto, temos:
Passo 5
Agora, vamos somar a série usando essa decomposição:
Esse tipo de série é chamada de telescópica porque muitos termos vão se cancelar.
Passo 6
Vamos ver os primeiros termos para entender o cancelamento:
Observa que
cancela com
,
cancela com
, e assim por diante.
Passo 7
Após o cancelamento, sobra apenas o primeiro termo que não se cancela:
Passo 8
Vamos analisar a expressão
. Novamente, podemos usar frações parciais para simplificar essa fração complexa.
Passo 9
Primeiro, notamos que
. Vamos tentar decompor a fração
em termos de frações mais simples.
Assumimos uma decomposição do tipo:
Passo 10
Multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar
,
,
e
, podemos escolher valores específicos de
ou comparar os coeficientes dos termos. Para simplificar, vamos escolher valores:
- Se
:
- Se
:
Agora, expandindo e comparando os coeficientes dos termos de
,
e
, podemos resolver para
e
. Após resolver, obtemos:
Portanto, a decomposição fica:
Passo 11
Agora, vamos somar a série usando essa decomposição:
Essa também é uma série telescópica.
Passo 12
Observando os primeiros termos:
Os termos intermediários vão se cancelar, sobrando apenas o primeiro termo
e o limite quando
tende a infinito.
Passo 13
Como
, a soma da série é:
Passo 14
Vamos analisar a expressão
. Podemos fatorar o denominador como diferença de quadrados:
Então, a fração fica:
Passo 15
Vamos decompor em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 16
Escolhemos valores de
para encontrar
e
:
- Se
:
- Se
:
Portanto, a decomposição é:
Passo 17
Agora, vamos somar a série:
Essa também é uma série telescópica.
Passo 18
Vamos escrever os primeiros termos para visualizar o cancelamento:
Os termos
e
se cancelam,
e
se cancelam, e assim por diante.
Passo 19
O que permanece são os primeiros termos que não se cancelam:
Resposta
A soma da série
é igual a
.