(a) sumn=1^+infty 1n(n+1)=1
(b) sumn=1^+infty 2 n+1n^2(n+1)^2=1
© sumn=2^+infty 1n^2-1=34

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos três somas infinitas e precisamos calcular seus valores. Isso está dentro do conteúdo de séries infinitas na matemática. Para resolver, vamos usar técnicas como frações parciais e séries telescópicas. Vamos por partes!

Parte (a)

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão que temos: . Para somar essa série, podemos simplificar usando frações parciais. Frações parciais ajudam a dividir uma fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de somar.

Passo 3

Vamos decompor 1n(n+1) = An + Bn+1 em duas frações:
1 = A(n+1) + Bn
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Agora, vamos resolver para 1 = A(0) + B(-1) Rightarrow B = -1 e 1 = A(1) + B(0) Rightarrow A = 1 . Escolhemos valores de 1n(n+1) = 1n - 1n+1 que facilitam:
  • Se :
  • Se :
Portanto, temos:

Passo 5

Agora, vamos somar a série usando essa decomposição:
sumn=1^+infty ( 1n - 1n+1 )
Esse tipo de série é chamada de telescópica porque muitos termos vão se cancelar.

Passo 6

Vamos ver os primeiros termos para entender o cancelamento:
( 11 - 12 ) + ( 12 - 13 ) + ( 13 - 14 ) + dots
Observa que cancela com , cancela com , e assim por diante.

Passo 7

Após o cancelamento, sobra apenas o primeiro termo que não se cancela:
11 = 1

Passo 8

Vamos analisar a expressão . Novamente, podemos usar frações parciais para simplificar essa fração complexa.

Passo 9

Primeiro, notamos que 2n+1n^2(n+1)^2 = An + Bn^2 + Cn+1 + D(n+1)^2 . Vamos tentar decompor a fração em termos de frações mais simples.
Assumimos uma decomposição do tipo:

Passo 10

Multiplicando ambos os lados por 2n + 1 = A n (n+1)^2 + B (n+1)^2 + C n^2 (n+1) + D n^2 :
2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1 = D cdot (-1)^2 Rightarrow D = -1
Para encontrar 2(0) + 1 = 1 = B (1)^2 Rightarrow B = 1 , A = 0, C = 0 , 2n+1n^2(n+1)^2 = 1n^2 - 1(n+1)^2 e , podemos escolher valores específicos de ou comparar os coeficientes dos termos. Para simplificar, vamos escolher valores:
  • Se :
  • Se :
Agora, expandindo e comparando os coeficientes dos termos de , e , podemos resolver para e . Após resolver, obtemos:
Portanto, a decomposição fica:

Passo 11

Agora, vamos somar a série usando essa decomposição:
sumn=1^+infty ( 1n^2 - 1(n+1)^2 )
Essa também é uma série telescópica.

Passo 12

Observando os primeiros termos:
( 11^2 - 12^2 ) + ( 12^2 - 13^2 ) + ( 13^2 - 14^2 ) + dots
Os termos intermediários vão se cancelar, sobrando apenas o primeiro termo e o limite quando tende a infinito.

Passo 13

Como 11^2 = 1 , a soma da série é:

Passo 14

Vamos analisar a expressão n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1) . Podemos fatorar o denominador como diferença de quadrados:
1(n - 1)(n + 1)
Então, a fração fica:

Passo 15

Vamos decompor em frações parciais:
1(n - 1)(n + 1) = An - 1 + Bn + 1
Multiplicando ambos os lados por 1 = A(n + 1) + B(n - 1) :

Passo 16

Escolhemos valores de 1 = A(2) + B(0) Rightarrow A = 12 para encontrar 1 = A(0) + B(-2) Rightarrow B = -12 e 1n^2-1 = 1/2n - 1 - 1/2n + 1 = 12 ( 1n - 1 - 1n + 1 ) :
  • Se :
  • Se :
Portanto, a decomposição é:

Passo 17

Agora, vamos somar a série:
sumn=2^+infty 1n^2-1 = 12 sumn=2^+infty ( 1n - 1 - 1n + 1 )
Essa também é uma série telescópica.

Passo 18

Vamos escrever os primeiros termos para visualizar o cancelamento:
12 [ ( 11 - 13 ) + ( 12 - 14 ) + ( 13 - 15 ) + dots ]
Os termos e se cancelam, e se cancelam, e assim por diante.

Passo 19

O que permanece são os primeiros termos que não se cancelam:
12 ( 11 + 12 ) = 12 ( 1 + 12 ) = 12 cdot 32 = 34

Resposta

A soma da série é igual a .

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