(a)
(b)
©

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos três somas infinitas e precisamos calcular seus valores. Isso está dentro do conteúdo de séries infinitas na matemática. Para resolver, vamos usar técnicas como frações parciais e séries telescópicas. Vamos por partes!

Parte (a)

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão que temos: . Para somar essa série, podemos simplificar usando frações parciais. Frações parciais ajudam a dividir uma fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de somar.

Passo 3

Vamos decompor em duas frações:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Agora, vamos resolver para e . Escolhemos valores de que facilitam:
  • Se :
  • Se :
Portanto, temos:

Passo 5

Agora, vamos somar a série usando essa decomposição:
Esse tipo de série é chamada de telescópica porque muitos termos vão se cancelar.

Passo 6

Vamos ver os primeiros termos para entender o cancelamento:
Observa que cancela com , cancela com , e assim por diante.

Passo 7

Após o cancelamento, sobra apenas o primeiro termo que não se cancela:

Passo 8

Vamos analisar a expressão . Novamente, podemos usar frações parciais para simplificar essa fração complexa.

Passo 9

Primeiro, notamos que . Vamos tentar decompor a fração em termos de frações mais simples.
Assumimos uma decomposição do tipo:

Passo 10

Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar , , e , podemos escolher valores específicos de ou comparar os coeficientes dos termos. Para simplificar, vamos escolher valores:
  • Se :
  • Se :
Agora, expandindo e comparando os coeficientes dos termos de , e , podemos resolver para e . Após resolver, obtemos:
Portanto, a decomposição fica:

Passo 11

Agora, vamos somar a série usando essa decomposição:
Essa também é uma série telescópica.

Passo 12

Observando os primeiros termos:
Os termos intermediários vão se cancelar, sobrando apenas o primeiro termo e o limite quando tende a infinito.

Passo 13

Como , a soma da série é:

Passo 14

Vamos analisar a expressão . Podemos fatorar o denominador como diferença de quadrados:
Então, a fração fica:

Passo 15

Vamos decompor em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 16

Escolhemos valores de para encontrar e :
  • Se :
  • Se :
Portanto, a decomposição é:

Passo 17

Agora, vamos somar a série:
Essa também é uma série telescópica.

Passo 18

Vamos escrever os primeiros termos para visualizar o cancelamento:
Os termos e se cancelam, e se cancelam, e assim por diante.

Passo 19

O que permanece são os primeiros termos que não se cancelam:

Resposta

A soma da série é igual a .

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Use a regra da substituição para calcular as seguintes integrais indefinidas:
Determine o comprimento da curva dada.
(a) ( ) Toda sequência limitada é convergente;
(b) ( ) Toda sequência limitada é monótona;
© ( ) Toda sequência monótona é limitada;
(d) ( ) Toda sequência divergente é não monótona;
(e) ( ) Toda sequência convergente é monótona;
(f) ( ) Toda sequência divergente é não limitada;
(g) ( ) Se e são sequências tais que , então a é convergente;
(h) ( ) A sequência definida por e é convergente;
(i) ( ) Se , tal que é convergente, então é convergente;
(j) ( ) Se (|ant) é convergente, então é convergente;
(k) ( ) Se converge e , então converge;
(l) ( ) Se e divergem, então diverge;
(m) ( ) Se converge, então converge;
(n) ( ) Se e divergem, então converge;
(o) ( ) Se diverge, então ;
§ ( ) Se diverge, então diverge;
(q) ( ) Se diverge e , então converge;
® ( ) Se é uma sequência constante, então diverge;
(s) ( ) Se e diverge, então diverge.
(t) ( ) Se e converge, então converge.
(b) Use o resultado do item (a) para mostrar que .