(a)
(b)
©
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos três somas infinitas e precisamos calcular seus valores. Isso está dentro do conteúdo de séries infinitas na matemática. Para resolver, vamos usar técnicas como frações parciais e séries telescópicas. Vamos por partes!
Parte (a)
Passo 2
Primeiro, vamos entender a expressão que temos:
. Para somar essa série, podemos simplificar usando frações parciais. Frações parciais ajudam a dividir uma fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de somar.
Passo 3
Vamos decompor
em duas frações:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
e
. Escolhemos valores de
que facilitam:
- Se
:
- Se
:
Portanto, temos:
Passo 5
Agora, vamos somar a série usando essa decomposição:
Esse tipo de série é chamada de telescópica porque muitos termos vão se cancelar.
Passo 6
Vamos ver os primeiros termos para entender o cancelamento:
Observa que
cancela com
,
cancela com
, e assim por diante.
Passo 7
Após o cancelamento, sobra apenas o primeiro termo que não se cancela:
Passo 8
Vamos analisar a expressão
. Novamente, podemos usar frações parciais para simplificar essa fração complexa.
Passo 9
Primeiro, notamos que
. Vamos tentar decompor a fração
em termos de frações mais simples.
Assumimos uma decomposição do tipo:
Passo 10
Multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar
,
,
e
, podemos escolher valores específicos de
ou comparar os coeficientes dos termos. Para simplificar, vamos escolher valores:
- Se
:
- Se
:
Agora, expandindo e comparando os coeficientes dos termos de
,
e
, podemos resolver para
e
. Após resolver, obtemos:
Portanto, a decomposição fica:
Passo 11
Agora, vamos somar a série usando essa decomposição:
Essa também é uma série telescópica.
Passo 12
Observando os primeiros termos:
Os termos intermediários vão se cancelar, sobrando apenas o primeiro termo
e o limite quando
tende a infinito.
Passo 13
Como
, a soma da série é:
Passo 14
Vamos analisar a expressão
. Podemos fatorar o denominador como diferença de quadrados:
Então, a fração fica:
Passo 15
Vamos decompor em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 16
Escolhemos valores de
para encontrar
e
:
- Se
:
- Se
:
Portanto, a decomposição é:
Passo 17
Agora, vamos somar a série:
Essa também é uma série telescópica.
Passo 18
Vamos escrever os primeiros termos para visualizar o cancelamento:
Os termos
e
se cancelam,
e
se cancelam, e assim por diante.
Passo 19
O que permanece são os primeiros termos que não se cancelam:
Resposta
A soma da série
é igual a
.
Exercícios relacionados
Use a regra da substituição para calcular as seguintes integrais indefinidas:
Determine o comprimento da curva dada.
(a) ( ) Toda sequência limitada é convergente;
(b) ( ) Toda sequência limitada é monótona;
© ( ) Toda sequência monótona é limitada;
(d) ( ) Toda sequência divergente é não monótona;
(e) ( ) Toda sequência convergente é monótona;
(f) ( ) Toda sequência divergente é não limitada;
(g) ( ) Se e
são sequências tais que
, então a
é convergente;
(h) ( ) A sequência definida por
e
é convergente;
(i) ( ) Se , tal que
é convergente, então
é convergente;
(j) ( ) Se (|ant) é convergente, então é convergente;
(k) ( ) Se converge e
, então
converge;
(l) ( ) Se e
divergem, então
diverge;
(m) ( ) Se converge, então
converge;
(n) ( ) Se e
divergem, então
converge;
(o) ( ) Se diverge, então
;
§ ( ) Se diverge, então
diverge;
(q) ( ) Se diverge e
, então
converge;
® ( ) Se é uma sequência constante, então
diverge;
(s) ( ) Se e
diverge, então
diverge.
(t) ( ) Se e
converge, então
converge.
(b) ( ) Toda sequência limitada é monótona;
© ( ) Toda sequência monótona é limitada;
(d) ( ) Toda sequência divergente é não monótona;
(e) ( ) Toda sequência convergente é monótona;
(f) ( ) Toda sequência divergente é não limitada;
(g) ( ) Se
(h) ( ) A sequência
(i) ( ) Se
(j) ( ) Se (|ant) é convergente, então
(k) ( ) Se
(l) ( ) Se
(m) ( ) Se
(n) ( ) Se
(o) ( ) Se
§ ( ) Se
(q) ( ) Se
® ( ) Se
(s) ( ) Se
(t) ( ) Se
(b) Use o resultado do item (a) para mostrar que
.