Determine os vetores tangente e normal unitários
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os vetores tangente unitário
e normal unitário
para a curva dada por
. Para isso, vamos usar derivadas de vetores e normalizar os vetores resultantes.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada da função
em relação a
, que é
. Isso vai nos dar o vetor velocidade da curva.
Passo 3
Agora, vamos calcular o módulo (ou comprimento) de
, que é necessário para normalizar o vetor.
Sabendo que
, simplificamos:
Passo 4
Com o módulo encontrado, podemos determinar o vetor tangente unitário
dividindo
pelo seu módulo.
Passo 5
Agora, vamos achar a derivada de
, que é
. Isso vai nos ajudar a encontrar o vetor normal.
Passo 6
Vamos calcular o módulo de
para normalizar e obter o vetor normal unitário.
Passo 7
Finalmente, encontramos o vetor normal unitário
dividindo
pelo seu módulo.
Resposta
Os vetores tangente e normal unitários são:
Exercícios relacionados
Reparametrize a curva com relação ao comprimento de arco medido a partir do ponto onde
na direção crescente de
.
Determine o comprimento da curva dada.
Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.
Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.