Determine os vetores tangente e normal unitários T(t) e N(t). r(t) = <sen(4t), 3t, cos(4t)>

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os vetores tangente unitário T(t) e normal unitário N(t) para a curva dada por . Para isso, vamos usar derivadas de vetores e normalizar os vetores resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da função r(t) em relação a t, que é . Isso vai nos dar o vetor velocidade da curva.

Passo 3

Agora, vamos calcular o módulo (ou comprimento) de , que é necessário para normalizar o vetor.
Sabendo que , simplificamos:

Passo 4

Com o módulo encontrado, podemos determinar o vetor tangente unitário T(t) dividindo pelo seu módulo.

Passo 5

Agora, vamos achar a derivada de T(t), que é . Isso vai nos ajudar a encontrar o vetor normal.

Passo 6

Vamos calcular o módulo de para normalizar e obter o vetor normal unitário.

Passo 7

Finalmente, encontramos o vetor normal unitário N(t) dividindo pelo seu módulo.

Resposta

Os vetores tangente e normal unitários são:

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