Reparametrize a curva com relação ao comprimento de arco medido a partir do ponto onde na direção crescente de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente reparametrizar uma curva em relação ao comprimento de arco, que é basicamente medir o quanto a curva “caminha” a partir de um ponto inicial. A curva dada é . Para resolver isso, a gente vai precisar usar cálculo, especialmente derivadas e integrais para encontrar o comprimento de arco.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da curva em relação a . Isso nos dá a velocidade vetorial:

Passo 3

Agora, calculamos a magnitude dessa derivada, que representa a rapidez da curva:

Passo 4

O comprimento de arco a partir de até um ponto qualquer é dado pela integral da magnitude da velocidade:

Passo 5

Queremos reparametrizar a curva em termos de , então precisamos expressar em função de . Da equação acima:

Passo 6

Substituímos na expressão original da curva por :

Resposta

A parametrização da curva em relação ao comprimento de arco é:

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Determine o comprimento da curva dada.
Determine o comprimento da curva dada.
Determine os vetores tangente e normal unitários e .
Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.