Reparametrize a curva com relação ao comprimento de arco medido a partir do ponto onde
na direção crescente de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente reparametrizar uma curva em relação ao comprimento de arco, que é basicamente medir o quanto a curva “caminha” a partir de um ponto inicial. A curva dada é
. Para resolver isso, a gente vai precisar usar cálculo, especialmente derivadas e integrais para encontrar o comprimento de arco.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da curva
em relação a
. Isso nos dá a velocidade vetorial:
Passo 3
Agora, calculamos a magnitude dessa derivada, que representa a rapidez da curva:
Passo 4
O comprimento de arco
a partir de
até um ponto qualquer
é dado pela integral da magnitude da velocidade:
Passo 5
Queremos reparametrizar a curva em termos de
, então precisamos expressar
em função de
. Da equação acima:
Passo 6
Substituímos
na expressão original da curva
por
:
Resposta
A parametrização da curva em relação ao comprimento de arco
é:
Exercícios relacionados
Determine o comprimento da curva dada.
Determine o comprimento da curva dada.
Determine os vetores tangente e normal unitários
e
.
Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.