Exercício 3 (2,5 pontos) Calcule a massa do sólido B, cuja função densidade de massa é
, sendo
descrito por
e
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para calcular a massa de um sólido
onde a densidade de massa é dada por
. O sólido
está descrito por duas condições:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais múltiplas para calcular a massa de um corpo com densidade variável. Precisaremos configurar uma integral tripla sobre o volume
com a densidade
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar as expressões para facilitar os cálculos. Vamos fazer uma mudança de variável para centralizar o sólido em relação à origem. Definimos:
Com essa mudança, as equações ficam:
-
-
que simplifica para
Passo 3
Agora, observamos que a primeira equação representa um elipsoide centrado na origem no sistema
, e a segunda equação define uma região acima de uma superfície específica dentro desse elipsoide.
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas esféricas ou elípticas apropriadas. Porém, dado o formato da densidade e das restrições, vamos manter nas coordenadas
e determinar os limites de integração.
Passo 4
A massa
é dada por:
Porque
.
Passo 5
Para configurar a integral, precisamos determinar os limites para
. A restrição
indica que para cada
e
,
varia de
até o valor máximo definido pelo elipsoide.
A equação do elipsoide pode ser resolvida para
:
Então, os limites para
são de
até
.
Passo 6
Agora, determinamos os limites para
e
. A projeção no plano
do elipsoide é definida por:
Isso descreve uma elipse no plano
com semi-eixos
e
.
Passo 7
Com tudo isso, a integral para a massa fica:
Passo 8
Vamos resolver a integral interna em
:
Passo 9
Agora, substituímos de volta na integral dupla:
Passo 10
Resolvendo a integral em
:
Devido à simetria, isso simplifica para:
Passo 11
Substituindo de volta na integral de
:
Simplificando:
Passo 12
Para resolver essa integral, podemos observar que a função é par em
, então podemos multiplicar por 2 e integrar de 0 a
:
Passo 13
A integral resultante envolve funções que podem ser resolvidas por substituição trigonométrica ou outra técnica avançada de integração. Após calcular essa integral, obteremos o valor final da massa
.
Resposta
A massa do sólido
é dada pela integral
, cujo valor final, após resolver todas as integrais, é
[valor a ser calculado].
Exercícios relacionados
Exercício 4 (2,5 pontos) Considere o campo
. Calcule o trabalho realizado pelo campo
para deslocar uma partícula, cuja trajetória é dada por
.
\footnotetext{
BOA PROVA!
\footnotetext{
1
Exercício 1 (2,5 pontos) Considere o sólido compreendido entre o paraboloide
e o plano
. Calcule a integral tripla de
sobre
.
Sugestão: escreva na forma
e
.
Exercício 1 (2,5 pontos) Considere
Sugestão: escreva
Determine o comprimento da curva.
(a) Use a Equação 2 para calcular o comprimento do segmento de reta fornecido.