Exercício 3 (2,5 pontos) Calcule a massa do sólido B, cuja função densidade de massa é , sendo descrito por e

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para calcular a massa de um sólido onde a densidade de massa é dada por . O sólido está descrito por duas condições:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais múltiplas para calcular a massa de um corpo com densidade variável. Precisaremos configurar uma integral tripla sobre o volume com a densidade .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as expressões para facilitar os cálculos. Vamos fazer uma mudança de variável para centralizar o sólido em relação à origem. Definimos:
Com essa mudança, as equações ficam:
  1. que simplifica para

Passo 3

Agora, observamos que a primeira equação representa um elipsoide centrado na origem no sistema , e a segunda equação define uma região acima de uma superfície específica dentro desse elipsoide.
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas esféricas ou elípticas apropriadas. Porém, dado o formato da densidade e das restrições, vamos manter nas coordenadas e determinar os limites de integração.

Passo 4

A massa é dada por:
Porque .

Passo 5

Para configurar a integral, precisamos determinar os limites para . A restrição indica que para cada e , varia de até o valor máximo definido pelo elipsoide.
A equação do elipsoide pode ser resolvida para :
Então, os limites para são de até .

Passo 6

Agora, determinamos os limites para e . A projeção no plano do elipsoide é definida por:
Isso descreve uma elipse no plano com semi-eixos e .

Passo 7

Com tudo isso, a integral para a massa fica:

Passo 8

Vamos resolver a integral interna em :

Passo 9

Agora, substituímos de volta na integral dupla:

Passo 10

Resolvendo a integral em :
Devido à simetria, isso simplifica para:

Passo 11

Substituindo de volta na integral de :
Simplificando:

Passo 12

Para resolver essa integral, podemos observar que a função é par em , então podemos multiplicar por 2 e integrar de 0 a :

Passo 13

A integral resultante envolve funções que podem ser resolvidas por substituição trigonométrica ou outra técnica avançada de integração. Após calcular essa integral, obteremos o valor final da massa .

Resposta

A massa do sólido é dada pela integral , cujo valor final, após resolver todas as integrais, é [valor a ser calculado].

Exercícios relacionados

Exercício 4 (2,5 pontos) Considere o campo . Calcule o trabalho realizado pelo campo para deslocar uma partícula, cuja trajetória é dada por .
\footnotetext{
BOA PROVA!
1
Exercício 1 (2,5 pontos) Considere o sólido compreendido entre o paraboloide e o plano . Calcule a integral tripla de sobre .
Sugestão: escreva na forma e .
Determine o comprimento da curva.
(a) Use a Equação 2 para calcular o comprimento do segmento de reta fornecido.