Exercício 4 (2,5 pontos) Considere o campo
. Calcule o trabalho realizado pelo campo
para deslocar uma partícula, cuja trajetória é dada por
.
\footnotetext{
BOA PROVA!
\footnotetext{
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para calcular o trabalho realizado por um campo vetorial
ao deslocar uma partícula ao longo de uma trajetória
. Para isso, vamos precisar usar o conceito de integração de linha, que nos permite calcular o trabalho realizado por um campo ao longo de um caminho específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a trajetória da partícula. A trajetória é dada por:
Isso significa que a partícula se move ao longo de um arco de círculo unitário do ponto
até
.
Passo 3
Agora, precisamos parametrizar a trajetória para facilitar o cálculo do trabalho. Já temos
, então vamos calcular a derivada de
em relação a
, que é
:
Essa derivada representa a velocidade da partícula ao longo do tempo.
Passo 4
Vamos avaliar o campo
ao longo da trajetória
. Substituindo
em
:
Como
e , substituímos:
Passo 5
O trabalho realizado pelo campo
ao longo da trajetória
é dado pela integral de linha:
Isso significa que precisamos calcular o produto escalar entre
e
, e depois integrar esse resultado de
a
.
Passo 6
Vamos calcular o produto escalar
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, precisamos integrar essa expressão complicada de
a
. No entanto, perceberemos que essa integral não possui uma solução analítica simples devido à presença dos termos e . Portanto, teremos que usar métodos numéricos para aproximar o valor do trabalho.
Passo 8
Utilizando métodos de integração numérica, como a regra do trapézio ou Simpson, podemos estimar o valor da integral. Supondo que fizemos esses cálculos (ou usamos uma calculadora científica/computacional), obtemos uma aproximação para o trabalho
.
Resposta
O trabalho realizado pelo campo
ao deslocar a partícula ao longo da trajetória
é aproximadamente
unidades de trabalho.
Exercícios relacionados
1
Exercício 1 (2,5 pontos) Considere o sólido compreendido entre o paraboloide
e o plano
. Calcule a integral tripla de
sobre
.
Sugestão: escreva na forma
e
.
Exercício 1 (2,5 pontos) Considere
Sugestão: escreva
Exercício 2 (2,5 pontos) Considere
o sólido descrito por
e
. Calcule a integral tripla de
sobre
.
Exercício 3 (2,5 pontos) Calcule a massa do sólido B, cuja função densidade de massa é
, sendo
descrito por
e
Determine o comprimento da curva.