Seja a região do plano delimitada pelas curvas de equações e . Calcule

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. A região é delimitada pelas curvas , e . O objetivo é calcular a integral dupla . Vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais duplas e entender como definir os limites de integração para e .

Passo 2

Vamos começar descrevendo a região . As curvas e são parábolas que se abrem para a direita e para a esquerda, respectivamente. A linha corta essas parábolas. Para visualizar melhor, imagine que para cada valor de até 1, varia de a .

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. Como varia de 0 até 1 (já que é o limite superior e as parábolas se encontram em ), e para cada , varia de a , nossos limites serão:
  • de 0 a 1
  • de a

Passo 4

A integral dupla pode ser escrita como:
Como a função não depende de , podemos integrar em relação a facilmente.

Passo 5

Integrando em relação a :

Passo 6

Agora, nossa integral dupla se reduz a:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar:

Passo 7

Substituindo na integral:

Resposta

A integral dupla vale .

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.
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