Seja
a região do plano delimitada pelas curvas de equações
e
. Calcule
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. A região
é delimitada pelas curvas
,
e
. O objetivo é calcular a integral dupla
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais duplas e entender como definir os limites de integração para
e
.
Passo 2
Vamos começar descrevendo a região
. As curvas
e
são parábolas que se abrem para a direita e para a esquerda, respectivamente. A linha
corta essas parábolas. Para visualizar melhor, imagine que para cada valor de
até 1,
varia de
a
.
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração. Como
varia de 0 até 1 (já que
é o limite superior e as parábolas se encontram em
), e para cada
,
varia de
a
, nossos limites serão:
-
de 0 a 1 -
de a
Passo 4
A integral dupla pode ser escrita como:
Como a função
não depende de
, podemos integrar em relação a
facilmente.
Passo 5
Integrando
em relação a
:
Passo 6
Agora, nossa integral dupla se reduz a:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar:
Passo 7
Substituindo na integral:
Resposta
A integral dupla vale
.
Exercícios relacionados
Determine o comprimento da curva
.
Uma placa fina de metal, localizada no plano
, tem temperatura
no ponto
. As curvas de nível de
são chamadas isotérmicas porque todos os pontos em uma isotérmica têm a mesma temperatura. Faça o esboço de algumas isotérmicas se a função temperatura for dada por
A região limitada pela curva
e pela reta
é girada em torno do eixo
para gerar um sólido. Determine o volume do sólido.
Seja
onde a região
de integração está situada no 1o. quadrante, acima da parábola de equação
e abaixo da parábola de equação
. Esboce a região R e escreva a integral dupla como integral iterada, nas duas possíveis ordens de integração.