Seja D a região do plano delimitada pelas curvas de equações x=y^2, x=-y^2 e y=1. Calcule integral duplaD^z e^y^3 d x d y

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. A região é delimitada pelas curvas , e . O objetivo é calcular a integral dupla . Vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais duplas e entender como definir os limites de integração para e .

Passo 2

Vamos começar descrevendo a região . As curvas e são parábolas que se abrem para a direita e para a esquerda, respectivamente. A linha corta essas parábolas. Para visualizar melhor, imagine que para cada valor de até 1, varia de a .

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. Como varia de 0 até 1 (já que é o limite superior e as parábolas se encontram em ), e para cada , varia de a , nossos limites serão:
  • de 0 a 1
  • de a

Passo 4

A integral dupla pode ser escrita como:
integral0^1 integral-y^2^y^2 e^y^3 , dx , dy
Como a função não depende de , podemos integrar em relação a facilmente.

Passo 5

Integrando integral-y^2^y^2 e^y^3 , dx = e^y^3 cdot [ x ]-y^2^y^2 = e^y^3 cdot (y^2 - (-y^2)) = e^y^3 cdot 2y^2 em relação a :

Passo 6

Agora, nossa integral dupla se reduz a:
integral0^1 2y^2 e^y^3 , dy
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar:
u = y^3 Rightarrow du = 3y^2 , dy Rightarrow du3 = y^2 , dy

Passo 7

Substituindo na integral:
2 integral0^1 y^2 e^y^3 , dy = 2 cdot ( 13 integral0^1 e^u , du ) = 23 [ e^u ]0^1 = 23 (e^1 - e^0) = 23 (e - 1)

Resposta

A integral dupla vale .

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