Seja
a região do plano delimitada pelas curvas de equações
e
. Calcule
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. A região
é delimitada pelas curvas
,
e
. O objetivo é calcular a integral dupla
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais duplas e entender como definir os limites de integração para
e
.
Passo 2
Vamos começar descrevendo a região
. As curvas
e
são parábolas que se abrem para a direita e para a esquerda, respectivamente. A linha
corta essas parábolas. Para visualizar melhor, imagine que para cada valor de
até 1,
varia de
a
.
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração. Como
varia de 0 até 1 (já que
é o limite superior e as parábolas se encontram em
), e para cada
,
varia de
a
, nossos limites serão:
-
de 0 a 1 -
de a
Passo 4
A integral dupla pode ser escrita como:
Como a função
não depende de
, podemos integrar em relação a
facilmente.
Passo 5
Integrando
em relação a
:
Passo 6
Agora, nossa integral dupla se reduz a:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar:
Passo 7
Substituindo na integral:
Resposta
A integral dupla vale
.