A região limitada pela curva
e pela reta
é girada em torno do eixo
para gerar um sólido. Determine o volume do sólido.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma região delimitada pela curva
e pela reta
. A gente precisa girar essa região em torno do eixo
para formar um sólido e descobrir qual é o volume desse sólido. Para isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde a curva
e a reta
se interceptam. Isso vai nos dizer os limites de integração.
Igualando as duas equações:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as soluções são:
Portanto, as curvas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora, vamos entender qual das duas funções está acima da outra nesse intervalo. Vamos escolher um valor de
entre -2 e 1, por exemplo,
:
Como
, a reta está acima da parábola nesse intervalo.
Passo 4
Para calcular o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo
, vamos usar a fórmula do método dos discos:
Aqui,
é a função que está acima (a reta) e
é a que está abaixo (a parábola).
Passo 5
Substituindo as funções na fórmula:
Vamos expandir as expressões dentro do integral:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Vamos agora integrar termo a termo:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos calcular para
:
Agora, para
:
Passo 8
Subtraindo os resultados:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Seja
a região do plano delimitada pelas curvas de equações
e
. Calcule
Determine o comprimento da curva
.
Seja
onde a região
de integração está situada no 1o. quadrante, acima da parábola de equação
e abaixo da parábola de equação
. Esboce a região R e escreva a integral dupla como integral iterada, nas duas possíveis ordens de integração.
Nos itens abaixo, encontre uma equação para a curva de nível da função
que passa pelo ponto dado:
(a) , no ponto
.
(a)