A região limitada pela curva e pela reta é girada em torno do eixo para gerar um sólido. Determine o volume do sólido.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma região delimitada pela curva e pela reta . A gente precisa girar essa região em torno do eixo para formar um sólido e descobrir qual é o volume desse sólido. Para isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde a curva e a reta se interceptam. Isso vai nos dizer os limites de integração.
Igualando as duas equações:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as soluções são:
Portanto, as curvas se intersectam nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos entender qual das duas funções está acima da outra nesse intervalo. Vamos escolher um valor de entre -2 e 1, por exemplo, :
á
Como , a reta está acima da parábola nesse intervalo.

Passo 4

Para calcular o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo , vamos usar a fórmula do método dos discos:
Aqui, é a função que está acima (a reta) e é a que está abaixo (a parábola).

Passo 5

Substituindo as funções na fórmula:
Vamos expandir as expressões dentro do integral:
Então, a expressão fica:

Passo 6

Vamos agora integrar termo a termo:
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos calcular para :
Agora, para :

Passo 8

Subtraindo os resultados:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Seja a região do plano delimitada pelas curvas de equações e . Calcule
Determine o comprimento da curva
.
Seja onde a região de integração está situada no 1o. quadrante, acima da parábola de equação e abaixo da parábola de equação . Esboce a região R e escreva a integral dupla como integral iterada, nas duas possíveis ordens de integração.
Nos itens abaixo, encontre uma equação para a curva de nível da função que passa pelo ponto dado:
(a) , no ponto .