Determine o comprimento da curva
para
.
Passo 1
Ok, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o comprimento da curva
no intervalo de
até
. Para isso, vamos usar um conceito do cálculo chamado comprimento de uma curva, que nos ajuda a medir o tamanho de uma linha curva entre dois pontos.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva
entre
e
. A fórmula é:
Essa integral basicamente soma pequenos pedaços da curva para dar o comprimento total.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula na nossa função
. Primeiro, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Então, a derivada é constante e igual a 2.
Passo 4
Agora, substituímos a derivada na fórmula do comprimento:
Perceba que
simplifica para
.
Passo 5
Como
é uma constante, a integral fica mais fácil de resolver:
Resposta
O comprimento da curva é
unidades.