Determine o comprimento da curva y = 2x + 4 para 1 <= x <= 3.

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o comprimento da curva y = 2x + 4 no intervalo de x = 1 até . Para isso, vamos usar um conceito do cálculo chamado comprimento de uma curva, que nos ajuda a medir o tamanho de uma linha curva entre dois pontos.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva entre e . A fórmula é:
Essa integral basicamente soma pequenos pedaços da curva para dar o comprimento total.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula na nossa função y = 2x + 4. Primeiro, precisamos encontrar a derivada de y em relação a x, ou seja, .
Então, a derivada é constante e igual a 2.

Passo 4

Agora, substituímos a derivada na fórmula do comprimento:
Perceba que simplifica para raiz(5).

Passo 5

Como raiz(5) é uma constante, a integral fica mais fácil de resolver:

Resposta

O comprimento da curva é unidades.

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