Resolva as seguintes equações diferenciais, por separação de variáveis. Verifique nos itens e se as soluções encontradas estão corretas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial:
Essa equação envolve as variáveis e e queremos resolvê-la usando a técnica de separação de variáveis. Isso significa que vamos organizar a equação de modo que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para isolar e . Podemos fazer isso adicionando aos dois lados:
Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, multiplicamos ambos os lados por e dividimos por :
Dividindo ambos os lados por :
Mas para facilitar a integração, vamos reorganizar de forma que todos os fiquem de um lado e os do outro. Para isso, dividimos ambos os lados por :

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Para a integral do lado esquerdo, fazemos uma substituição para simplificar:
Seja , então ou .
Substituindo:
Para a integral do lado direito:

Passo 4

Igualando as integrais:
Podemos reorganizar para deixar a solução mais clara:
Onde é a constante de integração que engloba todas as constantes resultantes das integrações.

Passo 5

Para expressar em função de , podemos resolver a equação para :
Elevando ambos os lados como potência de :
Como é apenas uma constante positiva, podemos renomeá-la como :
Onde é uma constante real positiva.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

(RA2) Considere a equação diferencial . Verifique se é solução dessa EDO.
Encontre .
Determine o comprimento da curva para .
Resolva as seguintes equações diferenciais, por separação de variáveis. Verifique nos itens e se as soluções encontradas estão corretas.