Resolva as seguintes equações diferenciais, por separação de variáveis. Verifique nos itens
e
se as soluções encontradas estão corretas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial:
Essa equação envolve as variáveis
e
e queremos resolvê-la usando a técnica de separação de variáveis. Isso significa que vamos organizar a equação de modo que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para isolar
e
. Podemos fazer isso adicionando
aos dois lados:
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, multiplicamos ambos os lados por
e dividimos por
:
Dividindo ambos os lados por
:
Mas para facilitar a integração, vamos reorganizar de forma que todos os
fiquem de um lado e os
do outro. Para isso, dividimos ambos os lados por
:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Para a integral do lado esquerdo, fazemos uma substituição para simplificar:
Seja
, então
ou
.
Substituindo:
Para a integral do lado direito:
Passo 4
Igualando as integrais:
Podemos reorganizar para deixar a solução mais clara:
Onde
é a constante de integração que engloba todas as constantes resultantes das integrações.
Passo 5
Para expressar
em função de
, podemos resolver a equação para
:
Elevando ambos os lados como potência de
:
Como
é apenas uma constante positiva, podemos renomeá-la como
:
Onde
é uma constante real positiva.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
(RA2) Considere a equação diferencial
. Verifique se
é solução dessa EDO.
Encontre
.
Determine o comprimento da curva
para
.
Resolva as seguintes equações diferenciais, por separação de variáveis. Verifique nos itens
e
se as soluções encontradas estão corretas.