Resolva as seguintes equações diferenciais, por separação de variáveis. Verifique nos itens
e
se as soluções encontradas estão corretas.
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial que precisa resolver usando o método de separação de variáveis. A equação é:
Vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis, onde vamos separar os termos que envolvem
dos que envolvem
.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para isolar os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Vamos mover
para o lado direito:
Passo 3
Agora, vamos dividir ambos os lados da equação por
para separar as variáveis:
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para deixar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo envolve
e a do lado direito envolve
:
Passo 6
Vamos resolver cada integral separadamente.
-
A integral do lado esquerdo:
-
A integral do lado direito:
Passo 7
Igualando as duas integrais e combinando as constantes de integração (
):
Passo 8
Para obter a solução geral para
, aplicamos o seno dos dois lados da equação:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Determine o comprimento da curva
para
.
Resolva as seguintes equações diferenciais, por separação de variáveis. Verifique nos itens
e
se as soluções encontradas estão corretas.
Encontre a derivada da função.
Resolva as equações diferenciais de ordem superior: