Resolva as seguintes equações diferenciais, por separação de variáveis. Verifique nos itens e se as soluções encontradas estão corretas.

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial que precisa resolver usando o método de separação de variáveis. A equação é:
Vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis, onde vamos separar os termos que envolvem dos que envolvem .

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para isolar os termos com de um lado e os termos com do outro. Vamos mover para o lado direito:

Passo 3

Agora, vamos dividir ambos os lados da equação por para separar as variáveis:

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para deixar todos os termos com de um lado e os termos com do outro:

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo envolve e a do lado direito envolve :

Passo 6

Vamos resolver cada integral separadamente.
  • A integral do lado esquerdo:
  • A integral do lado direito:

Passo 7

Igualando as duas integrais e combinando as constantes de integração ( ):

Passo 8

Para obter a solução geral para , aplicamos o seno dos dois lados da equação:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Determine o comprimento da curva para .
Resolva as seguintes equações diferenciais, por separação de variáveis. Verifique nos itens e se as soluções encontradas estão corretas.
Encontre a derivada da função.
Resolva as equações diferenciais de ordem superior: