Encontre a derivada da função. F(x)=integralx^x^3 e^t^2 d t

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a derivada da função . Isso está relacionado ao cálculo de derivadas, especificamente quando temos integrais cujos limites dependem da variável . Para resolver isso, vamos usar a regra de derivação para integrais com limites variáveis.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar da regra de Leibniz para derivadas de integrais que têm limites que são funções de F'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x) . A regra diz que se , então a derivada é dada por:
Essa fórmula nos ajuda a calcular a derivada quando os limites da integral dependem de .

Passo 3

Vamos identificar as partes da nossa função:
  • (limite inferior)
  • (limite superior)
Agora, vamos derivar e em relação a :

Passo 4

Aplicando a regra de Leibniz:
F'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x)
Substituindo as funções que identificamos:
F'(x) = e^(x^3)^2 cdot 3x^2 - e^x^2 cdot 1

Resposta

F'(x) = 3x^2 , e^x^6 - e^x^2

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